Neuer Beweis und Verallgemeinerungen des Fabryschen Lückensatzes. (Q1461882)

Höchst einfacher Beweis des folgenden, den Fabryschen enthaltenden Lückensatzes. Es sei \(\lambda_n\) monoton wachsend, \(n^{-1}\lambda_n\to\infty\), \(\displaystyle \liminf_{n\to\infty} (\lambda_{n+1} - \lambda_n) >0\). Die Dirichletsche Reihe \[ f(s) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{-\lambda_{n^s}} \] ist nicht über ihre (als endlich vorausgesetzte) Konvergenzgerade hinaus fortsetzbar. Der Beweis beruht auf der Darstellung \[ a_ne^{-\lambda_{n^s}}=\dfrac{1}{\varphi_n(\lambda_n)} \sum\limits_{\nu =0}^\infty c_\nu^{(n)}(-1)^\nu f^{(\nu )}(s) \qquad (\mathfrak{R}s>0), \] wobei \[ \varphi_n(x) = \prod_{_{\substack{ \nu = 1 \\ \nu\neq n}}}^\infty \left(1-\dfrac{x^2}{\lambda_n^2}\right) = \sum\limits_{\nu =0}^\infty c_\nu^{(n)}x^\nu \] ist. Außerdem wird mit demselben Kunstgriff ein noch allgemeinerer Satz bewiesen, in dem die Voraussetzung gemacht wird, daß bei jedem \(\delta >0\) für alle \(n\geqq n_0(\delta )\) gilt \[ \lambda_{n+1}-\lambda_n > e^{-(k+\delta )\omega_n}, \;\text{ wo } \;\omega_n = \underset{\nu\geqq n}{\text{Min}} \dfrac{\lambda_\nu}{\nu}, \;k\geqq 0. \tag{*} \]