Analytikus függvények kerületi értékeiröl. (Über die Randwerte analytischer Funktionen.) (Q1461888)

Fatou hat bewiesen (Acta Math. 30, 377-379; F. d. M. 37, 283 (JFM 37.0283.*), 1906), daß bei einer analytischen Funktion \( f(z)=\sum _{n=0}^\infty a_nz^n\) mit konvergentem \( \sum _{n=0}^\infty |a_n|^2\) für fast alle \(\theta \) die Randwerte \( \lim _{r\to 1} f(re^{i\theta })\) existieren. Die auf diese Weise bis auf eine Nullmenge erklärte Randfunktion \(f(e^{i\theta })\) ist samt dem Quadrat ihres Betrages \((L)\) integrabel; sie kann nach Fatou nur dann auf einer maßgleichen Teilmenge eines Bogens des Einheitstreises verschwinden, wenn \(f(z)\equiv 0\) ist. F. und M. Riesz haben später gezeigt (Quatrième congrès des math. scand. à Stockholm 1916, 27; F. d. M. 47, 295 (JFM 47.0295.*), 1919-20), daß wenn \(f(z)\not\equiv 0\), die Randfunktion nur auf einer Nullmenge des Einheitskreises verschwinden kann. Sz. vervollständigt nun diese Sätze durch die Bemerkung, daß unter den erwähnten Voraussetzungen sogar \(\log |f(e^{i\theta })|\) \((L)\) integrabel ist. Sein Beweis stützt sich auf einen an sich interessanten Satz über die ``positive Darstellung'' einer \((L)\) integrablen Funktion \(\varphi (\theta )\), \(0\leqq \theta \leqq 2\pi \). Darunter versteht man die Existenz einer Potenzreihe \( f(z)=\sum _{n=0}^\infty a_nz^n\) mit konvergenter \( \sum _{n=0}^\infty |a_n|^2\) für welche die Gleichungen \[ \frac {1}{2\pi }\int _0^{2\pi } \varphi (\theta )e^{i\nu\theta }\,d\theta = a_0\bar a_\nu + a_1\bar a_{\nu +1} + a_2\bar a_{\nu +2} + \cdots \] \[ (\nu =0,1,2,\ldots ) \] geltend. Als notwendige und hinreichende Bedingung dafür ergibt sich, daß \(\varphi (\theta )\) fast überall positiv und \(\log \varphi (\theta )\) \((L)\) integrabel sei. Die Notwendigkeit dieser Bedingung wird von Sz. durch Benutzung früherer Sätze über Toeplitzsche Formen (vgl. das Ref. auf S. 376) bewiesen. R. beweist zunächst den Satz von Sz. über die Integrierbarkeit von \(\log |f(e^{i\theta })|\) elementar, d. h. nur mit Benutzung der einfachsten Sätze der Lebesgueschen Theorie, ferner zeigt er Analoges für die allgemeinen Funktionenklassen, bei denen \[ \int _0^{2\pi }|f(re^{i\theta })|^p\,d\theta \qquad (p>0) \] für \(0 < r < 1\) beschränkt bleibt. (Vgl. F. Riesz, Math. Zeitschr. 18, 87, 1923.) Schließlich kommt er auf die von Sz. behandelte Frage nach der positiven Darstellbarkeit einer Funktion \(\varphi (\theta )\) zurück und bestimmt, auf Grund einer von Sz. angegebenen ``Normaldarstellung'', \textit{sämtliche} Darstellungen dieser Art.