Über die Mittelwerte analytischer Funktionen. (Q1461889)

Es sei \(C_k\) (\(k = 1, 2, 3,\ldots \)) eine Folge von ineinandergeschachtelten, geschlossenen, doppelpunktlosen, stetigen und rektifizierbaren Kurven, die gleichmäßig von innen aus gegen den Einheitskreis konvergieren; ihre Länge \(l_k\) konvergiere gegen \(2\pi \). Wenn \(f(z)\) für jedes \(k\) im Innern und auf \(C_k\) regulär und \[ \frac {1}{l_k}\int\limits _{C_k} |f(z)|^2\,d\sigma <1 \] ist, dann ist \[ \frac {1}{2\pi }\int _0^{2\pi } |f(re^{i\theta })|^2\,d\theta \leqq 1 \] für alle \(r < 1\). Dieser Satz wird mit Benutzung der in der auf S. 374 angezeigten Arbeit eingeführten Polynome bewiesen. Als Anwendung ergibt sich z. B. folgender Satz, den man übrigens auch direkt erhalten kann, wie Ref. von F. Riesz darauf aufmerksam gemacht wurde: Es sei \(f(z)\) regulär für \(|z| < 1\), ferner \[ \int _\alpha ^\beta |f(re^{i\theta })|^2\,d\theta \qquad (0\leqq \alpha <\beta \leqq 2\pi ) \] beschränkt für \(r<1\). Dann existiert \( \lim _{r\to 1}f(re^{i\theta })=f(e^{i\theta })\) mit Ausnahme einer Nullmenge von \(\theta \)-Werten für \(\alpha \leqq \theta \leqq \beta \), und \(|f(e^{i\theta })|^2\) ist \((L)\) integrabel für \(\alpha \leqq \theta \leqq \beta \).