Neuer Beweis für die Produktdarstellung der ganzen transzendenten Funktionen endlicher Ordnung. (Q1461928)

Ist die ganze Funktion \[ g(z) = c_0 + c_1z+ c_2z^2+ \cdots \] von der Ordnung \(\lambda\) (\(p \leqq\lambda< p +1\)) und sind \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(\ldots\) ihre von Null verschiedenen Nullstellen, so gestattet, wie Hadamard zuerst gezeigt hat, \(g(z)\) die Darstellung \[ g(z) = e^{Q(z)} z^m \prod_{\nu=1}^\infty \left(1-\frac z{a_\nu}\right) e^{\frac{z}{a_\nu} +\frac{z^2}{2a_\nu^2} +\cdots+\frac{z^p}{pa_\nu^p}}, \] wobei \(Q(z)\) eine ganze rationale Funktion ist, deren Grad \(p\) nicht übersteigt. Diesen Satz beweist der Verf. in einer von den üblichen sehr verschiedenen Weise, indem er \(g(z)\) als Grenzwert von Polynomen \[ P_n(z)= c_0+c_1z+\cdots+c_nz^n= c_0\prod_{\nu=1}^n \left(1-\frac z{a_{n\nu}}\right)\quad (|a_{n1}|\leqq|a_{n2}|\leqq \cdots\leqq|a_{nn}|) \] auffaßt. Auf die Einzelheiten des Beweises, der sich wesentlich auf die sinnreich abgeleitete Ungleichung \[ \frac1{|a_{n\mu}|^{p+1}} <\frac C{\mu^{1+\eta}}\quad (C\;\text{von}\;n\;\text{und}\;\mu\;\text{unabhängig;}\;\eta >0) \] stützt, kann hier nicht eingegangen werden.