Über die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singulären Stelle oder Linie. (Q1461941)

Die vorliegenden Abhandlungen bilden das erste Glied einer längeren Kette von funktionentheoretischen Untersuchungen, deren Gegenstand hauptsächlich das Anwachsen des absoluten Betrages und die Verteilung der Nullsteilen und Pole in der Umgebung einer isolierten singulären Stelle oder singulären Linie einer analytischen Funktion, bzw. die wechselseitige Beziehung derselben ist. Besonders reizvoll wirkt an diesen Untersuchungen, außer ihrer geradezu klassischen formalen Eleganz, die Abgeschlossenheit der Resultate und die Einfachheit der befolgten Methode. Es handelt sich durchgehend um die Anwendungen von zwei äußerst einfachen funktionentheoretischen Prinzipien, die beide bekannt waren, deren große Tragweite jedoch erst von den Verfassern erkannt worden ist. (Vgl. T. Carleman, C. R. 174, 373 und Ark. för Mat. 15, Nr. 10; F. d. M. d. Bd. S. 295, 355.) Beide Prinzipien beruhen letzten Endes auf der primitiven Tatsache, daß der Logarithmus des Betrages einer meromorphen Funktion eine eindeutige, bis auf Unendlichkeitsstellen reguläre, harmonische Funktion ist. Die Anwendung der Greenschen Formel liefert das Prinzip: 1. Es sei \(f(z)\) eine im abgeschlossenen Bereich \(G\) bis auf Pole reguläre Funktion; \(a_1,\ldots, a_m\) ihre Nullstellen, \(b_1,\ldots, b_n\) ihre Pole; auf der Randkurve \(\varGamma\), die aus endlich vielen analytischen Kurvenstücken zusammengesetzt sein möge, sei \(f(z)\) regulär und \(\neq 0\) (letzteres unwesentlich). Wenn \(\lambda(z)\) eine in \(G\) nebst ihren partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung stetige Funktion bezeichnet, dann ist \[ \begin{multlined} \sum_{\mu=1}^m \lambda(a_{\mu})-\sum_{\nu=1}^n\lambda(b_{\nu})\\ =\frac1{2\pi}\int\limits_G\log|f(z)|\varDelta\lambda(z)d\sigma+ \frac1{2\pi}\int\limits_{\varGamma}\left( \log|f(\zeta)| \frac{\partial\lambda(\zeta)}{\partial n}\lambda(\zeta)\frac{\partial}{\partial n}\log|f(\zeta)|\right)ds. \end{multlined} \tag{1} \] Besonders wichtig ist die folgende Folgerung aus (1), die eine Verallgemeinerung der bekannten Jensenschen Formel darstellt: \[ \log|f(z)|=-\sum_{\mu=1}^m g(z,a_{\mu})+ \sum_{\nu=1}^n g(z,b_{\nu})+ \frac1{2\pi}\int\limits_{\varGamma}\log|f(\zeta)|dh(\zeta,z), \tag{2} \] wobei \(z\) im Innern von \(G\) liegt, \(g(z,z_0)\) die Greensche Funktion von \(G\) und \(- h(z, z_0)\) die konjugierte harmonische Funktion bezeichnet. (Wenn \(z\) eine Nullstelle oder ein Pol von \(f(z)\) ist, so hat man diese Formel leicht zu modifizieren.) Hieraus erschließt man das Prinzip: 2. Es sei auf der Randkurve \(\varGamma\) eine Ungleichung \[ |f(\zeta)|\leqq C(\zeta) \] bekannt, \(C(\zeta) > 0\), \(C(\zeta)\) stückweise stetig. Die Funktion \[ U(z)=\frac1{2\pi}\int\limits_{\varGamma}\log C(\zeta)dh(\zeta,z) \] ist dann regulär und harmonisch im Innern von \(G\), und es gilt dort \[ \log|f(z)|\leqq -\sum_{\mu=1}^m g(z,a_{\mu})+\sum_{\nu=1}^n g(z,b_{\nu})+U(z). \] (\(U(z)\) geht auf dem Rande in \(\log C(z)\) über.) Insbesondere gilt, wenn \(f(z)\) in \(G\) regulär ist (wegen \(g>0\)), \[ \log |f(z)|\leqq U (z). \] Das Gleichheitszeichen gilt überall in \(G\), falls es in einem einzigen Punkt eintritt. Die Anwendungen von 1. beziehen sich auf das Verhalten einer Funktion a) in der Umgebung eines singulären Punktes, b) in der Umgebung einer singulären Linie, c) in einem Winkel, dessen Scheitel ein singulärer Punkt ist. a) Man nehme in (1) für \(G\) den Kreisring \(0 <\varrho_0\leqq|z|\leqq\varrho\), ferner sei \(\lambda(z) =\dfrac1k(|z|^{-k}-\varrho^{-k})\), \(k>0\). Dann ergibt sich der Satz: Es sei \(f(z)\) eindeutig und meromorph für \(|z|\geqq\varrho_0\), \(N_0(r)\), bzw. \(N_\infty (r)\) bezeichne die Anzahl der Nullstellen \(a_{\mu}\) bzw. der Pole \(b_{\nu}\) von \(f(z)\) für \(\varrho_0<|z|<r\). Wird endlich \[ \mu(r)=\frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\log|f(re{^i\varphi}|d\varphi \] gesetzt, dann konvergiert der Ausdruck \[ \int\limits_{\varrho_0}^{\varrho} \frac{N_0(r)-N_\infty(r)}{r^{k+1}}dr\left(\frac{\mu(\varrho)}{\varrho^k}-\frac{\mu(\varrho_0)}{\varrho_0^k}\right) -k\int\limits_{\varrho_0}^\varrho\frac{\mu(r)}{r^{k+1}}dr \] für \(\varrho\to\infty\) gegen einen endlichen Grenzwert. Ist z. B. \(f(z)\) regulär in der Umgebung des unendlich fernen Punktes, so folgt hieraus, daß die beiden Ausdrücke \[ \sum_{\mu=1}^{\infty}\frac1{|a_{\mu}|^k},\quad \int\limits_{\varrho_0}^\infty\frac{\mu(r)}{r^{k+1}}dr \] für jedes \(k>0\) gleichzeitig konvergieren oder divergieren. Hieraus ergibt sich unmittelbar die Erweiterung eines älteren Satzes von Valiron (vgl. das Ref. auf S. 356) auf ganze Funktionen unendlicher Ordnung. b) Es sei \(f(z)\) für \(\varrho_0\leqq |z|<1\) eindeutig und regulär mit den Nullstellen \(a_{\mu}\), dann sind die Ausdrücke \[ \sum_{\varrho_0<|a_{\mu}|<\varrho}(1-|a_{\mu}|)^{k+1},\quad \int\limits_{\varrho_0}^{\varrho}\mu(r)(1-r)^{k-1}dr \] für \(\varrho\to 1\) gleichzeitig konvergent und divergent, wenn \(k\geqq 0\) beliebig ist. (Für \(k=0\) ist der Integrand durch \(\mu(r)\) zu ersetzen.) Danach stellt die Endlichkeit von \[ \int\limits_{\varrho_0}^1\log M(r)(1-r)^{k-1}dr \qquad (M(r)=\operatorname{Max}|f(z)|, \;|z|=r; \;k>0) \] eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz von \(\sum\limits_{\mu=1}^{\infty}(1-|a_{\mu}|)^{k+1}\) dar. c) Man nehme in (1) für \(G\) den der Halbebene \(\mathfrak Rz\geqq 0\) angehörenden Teil des Kreisringes \(0 <\varrho_0\leqq|z|\leqq\varrho\), ferner sei \(\lambda(z) = \cos\varphi(r^{-1}-\varrho^{-1})\), \(z=re{^i\varphi}\). Setzt man \[ \begin{aligned} \alpha(r)&=\tfrac12\int\limits_{\varrho_0}^r(\log|f(it)|+\log|f(-it)|)\frac{dt}t, \\ m(r)&=\tfrac12\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\log|f(re^{i\varphi})| \cos\varphi d\varphi, \\ a(r)&=\sum_{\varrho_0<|a_{\mu}|<r}\cos\alpha_{\mu},\quad b(r)=\sum_{\varrho_0<|b_{\nu}|<\varrho}\cos\beta_{\nu}, \end{aligned} \] wobei \(a_{\mu}=|a_{\mu}|e^{i\alpha_{\mu}}\) die Nullstellen, \(b_{\nu}=|b_{\nu}|e^{i\beta_{\nu}}\) die Pole von \(f(z)\) sind, dann konvergiert der Ausdruck \[ \int\limits_{\varrho_0}^\varrho\frac{\alpha(r)}{r^2}+\frac1\varrho \left(m(\varrho)+\int\limits_{\varrho_0}^\varrho\frac{m(r)}rdr\right)\pi\int\limits_{\varrho_0}^\varrho\frac{a(r)-b(r)}{r^2}dr \] für \(\varrho\to\infty\) gegen einen endlichen Grenzwert. (Ein analoger Satz gilt für einen beliebigen, vom Nullpunkt ausgehenden Sektor.) Hieraus folgt z. B. der folgende Satz, der u. a. einen Carlsonschen Satz (Thèse, S. 58, F. d. M. 45; 645, 1914-15) als Spezialfall (\(A(r) = r\)) enthält: Es sei \(f(z)\) meromorph für \(\mathfrak Rz\geqq 0\), \(a_{\mu}=|a_{\mu}|e^{i\alpha_{\mu}}\) (\(\mu= 0, 1, 2,\ldots\)) seien ihre Nullstellen, \(b_{\nu}=|b_{\nu}|e^{i\beta_{\nu}}\) (\(\nu = 0, 1, 2, \ldots\)) ihre Pole, \(A(r)\) sei positiv für \(r\geqq\varrho_0\) und das Integral \[ \int\limits_{\varrho_0}^{\varrho}\frac{A(r)}{r^2}dr \] sei für \(\varrho\to\infty\) divergent. Wenn dann für \(t\geqq\varrho_0\) \[ \log|f(\pm it)\leqq A(t), \] ferner für \(r\geqq\varrho_0\), \(|\varphi|\leqq\dfrac\pi2\) \[ \log | f(re^{i\varphi})|\leqq\varepsilon(r)r \int\limits_{\varrho_0}^r \frac{A(t)}{t^2}dt\qquad (\varepsilon(r)\to 0 \;\text{für} \;r\to\infty), \] schließlich \[ \sum_{\varrho_0<|a_{\mu}|<r}\cos\alpha_{\mu}\sum_{\varrho_0<|b_{\nu}|<r}\cos\beta_{\nu}\geqq kA(r) \] gilt, wobei \(k\) eine positive Konstante bezeichnet, dann muß \(k\pi\leqq1\) sein, es sei denn, daß \(f(z)\equiv0\) ist. Das Prinzip 2. wird auf den in die rechte Halbebene fallenden Teil eines Kreisringes um den Nullpunkt als Mittelpunkt angewendet und führt auf den folgenden Satz: Es sei \(A(t)\) reell und stetig und \[ \int\limits_{t_0}^\infty\frac{|A(t)|+|A(-t)|}{t^2}dt \qquad (t_0>0) \] konvergent. Wenn \(f(z)\) für \(=\mathfrak Rz\geqq 0\) regulär und \[ \log|f(\pm it)|\leqq A(t)\qquad (t>t_0) \] ist, dann sind die folgenden beiden Möglichkeiten vorhanden: \(\alpha\)) Entweder ist \[ \log|f(z)|\leqq\frac1\pi\int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} A(t)d\omega(z,t) \quad (\omega(z,t)=-\operatorname{arc}(z-it); \;\mathfrak Rz\geqq 0); \] \(\beta\)) oder es existiert ein \(\eta>0\) mit \[ \int\limits_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2} \overset{+}\log|f(re^{i\varphi})|\cos\varphi d\varphi>\eta r \] für genügend große \(r\), wobei \(\overset {+} \log \alpha= \log\alpha\) für \(\alpha\geqq 1\) und \(=0\) für \(0<\alpha\leqq 1\) ist Hieraus folgen unter Spezialisierung von \(A(t)\) verschiedene, teils bekannte, teils neue Sätze. Besonders hervorgehoben sei ein Gegenstück zum Hadamardschen Dreikreisesatze. Schließlich sei ein Kriterium erwähnt dafür, daß eine innerhalb eines Gebietes reguläre Funktion sich als Quotient von zwei beschränkten Funktionen darstellen läßt. Für den Fall des Einheitskreises \(|z|< 1\) lautet dieses z. B. einfach so, daß \[ \int\limits_0^{2\pi}\overset {+}\log|f(re^{i\varphi})|d\varphi \] für \(r < 1\) beschränkt sein muß.