Sur les relations qui existent entre l'ordre de croissance d'une fonction monogène et la densité de ses zéros. (Q1461942)

Bei einer im Winkelfeld \(x = re^{i\varphi}\), \(|\varphi|\leqq\pi(2k)^{-1}\) regulären Funktion ergibt sich unter Voraussetzungen, die wir wegen Weitläufigkeit nicht wiedergeben, für den \(\log |f(x)|\) bei reellem \(x\) eine obere Abschätzung, die von seinem Wert auf den Schenkeln \(\varphi=\pm\pi(2k)^{-1}\), einer oberen Schranke desselben auf Kreisbögen \(|x| = r\), die zum Winkel gehören, und den Beträgen der im Winkelfeld liegenden Nullstellen von \(f(x)\) abhängt. Daraus ergeben sich zwischen den genannten Großen eine Reihe von Beziehungen, von denen Verf. zwei mitteilt, deren letzte einen Satz von F. Carlson umfaßt und lautet; Es sei \(f(x)\) regulär im obigen Winkelfeld, und überdies \[ |f(re^{\pm i\pi(2k)^{-1}})|<\operatorname{konst.\;} e^{r^k}, \;|f(re^{i\varphi})|<e^{\varepsilon(r)r^k\log r}, \] sowie \(f(x)=0\) in den Punkten \(x_n = r_ne^{i\varphi_n}\) mit \[ r^k_n<\sigma n[1+\varepsilon(n)],\quad \varlimsup\limits_{n\to\infty}|\varphi_n|=\varphi_0<\pi(2k)^{-1}. \] Wenn dann \(\sigma<\pi\cos k\varphi_0\) ist, so verschwindet \(f(x)\) identisch. (Vgl. das vorige Referat.)