Sur les séries entières, dont la somme est une fonction algébrique. (Q1461957)

\(\varphi(z)\) und \(\varPhi(z)\) seien zwei in der Umgebung des Nullpunkts reguläre algebraische Funktionen, und es sei \[ \begin{aligned} \varPhi(z)&=A_{00}+A_{01}z+A_{02}z^2+A_{03}z^3+\cdots\\ \varphi(z)\varPhi(z)&=A_{10}+A_{11}z+A_{12}z^2+A_{13}z^3+\cdots\\ (\varphi(z))^2\varPhi(z)&=A_{20}+A_{21}z+A_{22}z^2+A_{23}z^3+\cdots\\ (\varphi(z))^3\varPhi(z)&=A_{30}+A_{31}z+A_{32}z^2+A_{33}z^3+\cdots\\ &\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \end{aligned} \] Dem Punkte mit den kartesischen Koordinaten \(x=k\), \(y=l\) werde das Reihenglied \(A_{kl}z^l\) zugeordnet. Bildet man dann die Reihe all der Glieder, die den Punkten irgendeiner zur \(x\)-Achse nicht parallelen Geraden zugeordnet sind, so konvergiert diese Reihe und stellt eine \textit{algebraische Funktion} dar. Ist die Gerade parallel zur \(x\)-Achse, so braucht die Reihe nicht zu konvergieren; konvergiert sie, so stellt sie eine algebraische Funktion dar. Aus diesem Satze folgt z. B.: Sind \(\alpha\), \(\beta\) zwei rationale, \(a\), \(b\) zwei nicht negative ganze Zahlen, so stellt die mit den Binomialkoeffizienten \(\dbinom{\alpha+\beta n}{a+bn}\) gebildete Reihe \[ \sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha+\beta n}{a+bn} z^n \] eine algebraische Funktion dar. Im Anschluß an den Beweis des obigen Satzes gibt der Verf. noch zwei Reihentransformationsformeln, die sich zur ``Laplaceschen Interpolationsaufgabe'', d. h. zur Aufgabe, ein Polynom von einem Grade \(\leqq 2n\) zu finden, welches für \(x = 0,\pm 1,\ldots, \pm n\) vorgeschriebene Werte annimmt, genau so verhalten wie die bekannte Eulersche Transformation \[ \frac1{1+t}\sum_{n=0}^{\infty}a_n\left(\frac t{1+t}\right)^n= \sum_{n=0}^{\infty} t^n\varDelta^n a_0 \] zur Newtonschen Interpolationsaufgabe, ein Polynom vom Grade \(\leqq n\) zu finden, welches für \(x = 0, 1, 2, \ldots, n\) vorgeschriebene Werte annimmt. Die Formeln des Verf. sind, je nachdem \(a_{-n} = a_n\) oder = \(- a_n\) gesetzt wird, die folgenden: \[ \begin{gathered} \frac1{\sqrt{1+4t}}\left\{ \frac12a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1+2t-\sqrt{1+4t}}{2t}\right)^n \right\}=\frac12\sum_{n=0}^\infty t^n\varDelta^{2n}a_{-n},\\ \frac1t\sum_{n=1}^{\infty}a_n\left( \frac{1+2t-\sqrt{1+4t}}{2t}\right)^n=\frac12\sum_{n=0}^{\infty} t^n(\varDelta^{2n}a_{-n+1}-\varDelta^{2n}a_{-n-1}). \end{gathered} \] (IV 6 C.)