Über die Nullstellen sukzessiver Derivierten. (Q1461961)

Der Verf. beweist folgende vier Sätze: I. Es sei \(R(z)\) eine rationale gebrochene Funktion. Die Anzahl der nicht reellen Nullstellen der \(n\)-ten Derivierten \(R^{(n)}(z)\) wächst mit \(n\) ins Unendliche, wenn keiner der folgenden Ausnahmefälle vorliegt: 1. \(R(z)\) hat im Endlichen nur einen (einfachen oder mehrfachen) Pol. 2. \(R(z)\) hat im Endlichen nur zwei konjugiert imaginäre Pole. \noindent Im ersten Ausnahmefalle bleibt die Anzahl aller Nullstellen aller Derivierten \(R^{(n)}(z)\) endlich, im zweiten Fall die der nicht reellen Nullstellen, falls noch \(R(z)\) als reell für reelle \(z\) vorausgesetzt wird. II. \(P(z)\) und \(Q(z)\) seien Polynome, \(Q(0) = 0\), und es werde \[ G(z) = P(z)e^{Q(z)} \] gesetzt. Die Anzahl der nicht reellen Nullstellen der \(n\)-ten Derivierten \(G^{(n)}(z)\) wächst mit \(n\) ins Unendliche, wenn keiner der folgenden beiden Ausnahmefälle vorliegt: 1. \(Q(z) = bz\). 2. \(Q(z) =bz - cz^2\), \(b\) reell, \(c > 0\). \noindent Im ersten Ausnahmefall bleibt die Anzahl aller Nullstellen von \(G^{(n)}(z)\), im zweiten, falls noch \(G(z)\) reell ist für reelle \(z\), die der nicht reellen Nullstellen unter einer endlichen Grenze. III. Die Menge der Häufungsstellen sämtlicher Nullstellen von sämtlichen Derivierten einer meromorphen Funktion \(F(z)\) besteht aus den Punkten \(z\), die gleich weit entfernt sind von den beiden innen zunächst liegenden Polen der Funktion \(F(z)\). IV. \(P(z)\) und \(Q(z)\) seien Polynome, \[ Q(z)=bz^q + b_1z^{q-1}+\cdots+b_q, \quad \text{wo} \quad b\neq 0, \;q>2; \] ferner sei \[ G(z) = P(z)e^{Q(z)}. \] Die Menge der Häufungspunkte sämtlicher Nullstellen sämtlicher Funktionen \(G(z)\), \(G'(z)\), \(G''(z),\ldots, G^{(n)}(z),\ldots\) hängt nur von \(q\), \(b\), \(b_1\) ab. Sie besteht aus \(q\) Halbstrahlen, die vom Punkte \(z =-\dfrac{b_1}{qb}\) auslaufend die Ebene in \(q\) gleiche Winkelräume teilen.