Auszug aus einem Briefe von A. Ostrowski an L. Bieberbach. (Q1461967)

Im zweiten Teil dieses Briefes wird der folgende funktionentheoretische Satz mitgeteilt: Es sei \(G\) ein von einer Jordanschen Kurve begrenztes Gebiet, \(f_n(z)\) eine Folge von in \(G\) regulären und gleichmäßig beschränkten Funktionen, \(C\) sei ein Jordanscher Kurvenbogen, der einen Teil des Randes von \(G\) bildet. Besitzen die \(f_n(z)\) auf \(C\) Randwerte, deren Folge gleichmäßig auf \(C\) konvergiert, so konvergiert die Folge \(f_n(z)\) gleichmäßig in jedem im Innern von \(G\) liegenden Bereich \(B\), dessen Rand nur aus inneren Punkten von \(G\) und von \(C\) besteht. In einer vom 25. 5. 22. datierten Bemerkung wird die folgende Erweiterung dieses Satzes angegeben: Ist die Folge der Randwerte einer Folge \(f_n(z)\) von im Innern des Einheitskreises regulären und gleichmäßig beschränkten Funktionen auf einer Punktmenge der Peripherie des Einheitskreises von positivem Lebesgueschen Maß konvergent, so konvergiert die Folge \(f_n(z)\) überall im Innern des Einheitskreises. Der erste dieser Sätze ist allerdings, wie der Verf. später festgestellt hat, nicht neu, sondern findet sich in der Abhandlung von Montel, Sur la représentation conforme, Journ. de Math. (7) 3 (vgl. F. d. M. 46, 548 (JFM 46.0548.*). 1916-18). Der zweite der obigen Sätze ist unabhängig vom Verf. von A. Khintchine in Moskau entdeckt und gleichzeitig mit dem vorliegenden Briefe veröffentlicht worden (vgl das nächste Referat). Der Beweis des Verf. ist inzwischen in den Acts Univ. Fr.-Jos. Szeged (1, 1923) erschienen, wo auch ein weiterer Beweis von F. Riesz zu finden ist.