Über die Nullstellen von Polynomen, die in einem Kreise gleichmäßig konvergieren. (Q1461969)

Der Hauptsatz der Dissertation von Jentzsch (F. d. M. 45, 647, 1914-15) wird folgendermaßen verallgemeinert. Der Index \(n\) soll eine wachsende Folge \(n_\nu\) von positiven ganzen Zahlen durchlaufen. Die Polynomfolge \(P_n(x)\) (\(P_n(x)\) ist vom Grade \(n\) und hat den höchsten Koeffizienten \(a_n^{(n)}\neq 0\)) soll im Innern der aus endlich vielen analytischen Stücken bestehenden Kurve \(C\) gegen eine nicht identisch verschwindende Funktion konvergieren, und zwar gleichmäßig in jedem Bereich im Innern von \(C\). Wie man leicht erkennt, ist dann stets \[ \limsup_{n\to \infty} |a_n^{(n)}|^{\frac 1n}\leqq \frac 1\gamma, \] wobei \(\gamma\) die ``Abbildungskonstante'' von \(C\) bezeichnet (Radius des Kreises, auf dessen Äußere das Äußere von \(C\) mit Erhaltung des unendlich fernen Punktes und des Linienelementes darin abzubilden ist). Gilt nun hier das Gleichheitszeichen, dann ist jeder Punkt von \(C\) Häufungspunkt der Nullstellen der \(P_n(x)\). Dieser Satz wird mit Benutzung der Greenschen Funktion des Außengebietes von \(C\) (mit dem ``Aufpunkt'' \(x = \infty\)) bewiesen. Die Methode liefert etwas mehr als die unmittelbare Übertragung der Jentzschschen (Anwendung des Vitalischen Satzes), nämlich auch Sätze über die \textit{Verteilung} der Nullstellen von \(P_n(x)\). Dieser ``Verteilungssatz'' ist in der zweiten Note ausgesprochen mit Andeutung des Beweises. Daselbst findet sich auch ein vollständig elementarer Beweis des Spezialfalles, wo \(C\) der Einheitskreis ist.