Über die Entwicklung einer willkürlichen Funktion nach den Polynomen eines Orthogonalsystems. (Q1461976)

\(p(x)\) sei eine im Intervall \(-1,+1\) nicht negative Funktion, und es existiere das Lebesguesche Integral \[ \int\limits_{-1}^{+1}\log p(x)\frac 1{\sqrt { 1- x^2}}. \] \(Q_0(x)\), \(Q_1(x)\), \(Q_2(x)\), \dots, \(Q_\nu(x)\) \dots seien Polynome vom Grade \(0, 1, 2, \ldots, \nu, \ldots\), welche der Orthogonalitätsbedingung \[ \int\limits_{-1}^{+1}p(x)Q_\mu(x)Q_\nu(x)\,dx = \varepsilon_{\mu\nu} \] genügen; der Koeffizient von \(x_\nu\) in \(Q_\nu(x)\) sei positiv. Dann gilt außerhalb des Intervalls \(-1, +1\) die Formel \[ \lim_{n\to \infty} \frac {Q_n(x)}{(x+\sqrt {x^2-1})^n}=\frac 1{ \sqrt \pi \varDelta(z)\sqrt {1-z^2}}. \] Dabei wird unter \(x+\sqrt{x^2-1}\) derjenige Zweig dieser Funktion verstanden, der für \(x=\infty\) unendlich wird, unter \(\sqrt{1 - z^2}\) derjenige, der für \(z = 0\) positiv ist, und es wurde \[ z=\frac 1{x+\sqrt {x^2-1}}=x- \sqrt{x^2-1} \] gesetzt; \(\varDelta(z)\) ist eine durch \(p(x)\) vollständig bestimmte analytische Funktion (vgl. unten), die für \(|z|< 1\) regulär und von Null verschieden ist, und die fast überall die Gleichung \[ \lim_{r\to 1}|\varDelta(re^{i\theta}|^2= p(\cos \theta) \] erfüllt. Aus diesem Abschätzungssatze folgt dann leicht der Entwicklungssatz: Eine für \(- 1\leqq x \leqq 1\) reguläre analytische Funktion \(F(x)\) läßt sich durch eine Reihe \[ a_0Q_0(x)+a_1Q_1(x)+ \cdots + a_nQ_n(x) + \cdots \quad \text{mit} \;a_n= \int\limits_{-1}^{+1}p(x)F(x)Q_n(x)\,dx \] darstellen innerhalb der größten Ellipse mit den Brennpunkten \(-1,+1\), die in ihrem Innern keinen singulären Punkt von \(F(x)\) enthält. Dies ist das wesentliche Ergebnis der erstgenannten Abhandlung des Verf.; in der zweiten beschäftigt er sich mit der schwierigeren Frage nach der Abschätzung von \(Q_n(x)\) auf der Strecke \(-1, +1\) für \(n\to\infty\). Er erinnert zunächst an den in der ersten Arbeit festgestellten Zusammenhang zwischen den Polynomen \(Q_n(x)\) und gewissen anderen \(\varphi_n(z)\), welche in der vorstehend besprochenen Arbeit eingeführt worden sind; dabei ist \(f(\theta) =p(\cos\theta)\) zu setzen. Wird dann \[ D(z)=\exp\left(\frac 1{4\pi} \int\limits_0^{2\pi} \log f(\theta) \frac{1+z e^{-i\theta}}{1-z e^{-i\theta}}\,d\theta\right) \] gesetzt, so gelingt es dem Verf., die schon in einer früheren Abhandlung (vgl. das vorige Bef.) für \(|z|> 1\) bewiesene Gleichung \[ \lim_{n\to \infty} \frac{\varphi_n(z)}{z^n}=\frac 1{\overline D \left(\dfrac 1z \right)} \] unter der Voraussetzung der zweimaligen Differentiierbarkeit der Funktion \(f(\vartheta)\) auf den Fall \(|z|=1\) auszudehnen: \[ \varphi_n(e^{i\alpha}) = \frac{ e^{in\alpha}}{\overline{D(e^{i\alpha})}}+ \varepsilon_n \quad \text{mit}\quad \varepsilon_n \to 0\quad \text{für}\quad n \to \infty. \] Daraus folgt dann leicht für die Polynome \(Q_\nu(x)\): Setzt man \[ \varDelta(z) =\exp\left(\frac 1{4\pi} \int\limits_0^{2\pi} \log p(\cos \theta)\frac {1+ze^{i\theta}}{1-ze^{-i\theta}}\,d\theta\right), \] so wird \[ Q_n(\cos \alpha)=\sqrt{\frac 2{\pi\sin \alpha}}\Re \left( \frac 1{\varDelta (e^{i\alpha})}\exp \left(-in\alpha-\frac {i\alpha}2-\frac{i\pi}4\right)\right)+\varepsilon_n. \] In der dritten Abhandlung löst der Verf. die schwierige Frage nach der Entwickelbarkeit einer reellen Funktion \(f(\xi)\) für \(-1\leqq \xi \leqq 1\) in eine Reihe \[ c_0Q_0(\xi)+c_1Q_1(\xi)+ c_2Q_2(\xi) + \cdots \quad \text{mit} \;c_\nu= \int\limits_{-1}^{+1}p(x)f(x)Q_\nu(x)\,dx. \] Dabei wird nur die Existenz des Lebesgueschen Integrals \[ \int\limits_{-1}^{+1}p(x)(f(x))^2\,dx \] vorausgesetzt. Der Verf. vergleicht diese Entwicklung \(c_0Q_0(\xi)+c_1Q_1(\xi)+ c_2Q_2(\xi) + \cdots \) mit der Kosinusentwicklung \[ \gamma_0 + \gamma_1\cos \theta + \gamma_2 \cos 2\theta + \cdots \] für die Funktion \(p(\cos \theta)f(\cos \theta)|\sin \theta|\). Beide Entwicklungen brauchen nicht durchweg zu konvergieren; aber es gelingt dem Verf., zu zeigen, daß für \(\xi=\cos \theta\), \(- 1 < \xi < 1\), stets \[ \lim_{n\to \infty}\sum_{\nu=0}^n \left(c_\nu Q_\nu(\xi)-\frac{\gamma_\nu\cos \nu\theta}{p(\xi)\sqrt{1-\xi^2}}\right)= 0 \] ist, vorausgesetzt, daß \(p''(\xi)\) existiert. Dieser Satz liefert unmittelbar die Möglichkeit, die bekannten Konvergenz- und Summierbarkeitssätze aus der Theorie der Fourierschen Reihen auf Reihen nach den betrachteten Orthogonalfunktionen zu übertragen.