Sur les formules d'interpolation de Stirling et de Newton. (Q1461982)

Verf. beschäftigt sich in dem ersten Teil der vorliegenden Abhandlung mit der Stirlingschen Reihe \[ \sum_{s=0}^\infty a_s z(z^2-1^2)(z^2-2^2)\ldots (z^2-s^2) \] und beweist zunächst, daß ihre Konvergenz für einen nichtganzen Wert von \(z\) ihre gleichmäßige Konvergenz in jedem endlichen Bereich der \(z\)-Ebene zur Folge hat. Sie stellt dann eine ganze Funktion \(H(z)\) von folgender Eigenschaft dar. Wird \[ h(\varphi) = \limsup_{r\to \infty} \frac{\log|H(re^{i\varphi})|}r \] gesetzt, dann ist \[ h(\varphi) \leqq \psi(\varphi), \] wobei \(\psi(\varphi)\) die folgende, bei der ganzen Untersuchung eine wichtige Rolle spielende Funktion bedeutet: \[ \psi(\varphi)=\cos \varphi \log (\sqrt{\cos 2\varphi} + \sqrt 2 \cos \varphi)^2 + 2 \sin \varphi \arcsin (\sqrt 2\sin \varphi) \] für \(0 \leqq |\varphi| \leqq \dfrac \pi 4\), \(\dfrac {3\pi}4\leqq |\varphi| \leqq \pi\), \(\psi(\varphi)=\pi|\sin \varphi|\) für \(\dfrac{ \pi}4\leqq |\varphi| < \dfrac{3\pi}4\). Anderseits geht der Verf. von einer ganzen Funktion \(H(z)\) aus und bildet: \[ \begin{gathered} H(z)=\sum_{s=0}^{n-1}\frac {z^2(z^2 -1^2) \ldots (z^2-(s-1)^2)}{(2s)!} \varDelta^{2s}H(-s)+ \\ +\sum_{s=0}^{n-1} \frac {z(z^2 -1^2) \ldots (z^2-s^2)}{(2s+1)!} \nabla\varDelta^{2s+1}H(-s-1)+R_{2n}. \end{gathered} \] Hierbei ist \[ \begin{gathered} \varDelta H(x) = H(x +1) - H(x),\quad \nabla H(x) = \frac {H(s+1)+H(x)}{2},\\ R_{2n}=\frac 1{2\pi i}\int\limits_{C_n}\frac {z(z^2 -1^2) \ldots (z^2-(n-1)^2)(z\zeta -n^2)}{\zeta(\zeta^2-1^2)\ldots (\zeta^2-n^2)} \frac{H(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta; \end{gathered} \] \(C_n\) ist ein Kreis, dessen Radius größer als \(n\) und kleiner als \(n+1\) ist, \(z\) liegt im Innern von \(C_n\). Dieser ``Interpolationsformel'' wird eine andere zur Seite gestellt, bei welcher in der ersten Summation rechterhand \(s\) die Werte \(0, 1, \ldots, n\) durchläuft. Das ``Restglied'' sei dann \(R_{2n+1}\) genannt. Es ist \[ R_{2n+1}=\frac 1{2\pi i}\int\limits_{C_n}\frac {z(z^2 -1^2) \ldots (z^2-n^2)}{\zeta(\zeta^2-1^2)\ldots (\zeta^2-n^2)} \frac{H(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta. \] Verf. beweist nun, indem er die Integrationslinie \(C_n\) passend abändert, daß \[ \lim_{n\to \infty} R_{2n+1}= 0,\quad \lim_{n\to \infty} R_{2n} = 0, \] sofern \(h(\varphi) < \psi(\varphi)\) ist. Er beweist das sogar unter der allgemeineren Voraussetzung, daß für genügend großes \(r\) \[ \begin{aligned} &|H(re^{i\varphi}) - H(- re^{i\varphi})| < e^{r\psi(\varphi)} r^{\beta_1},\\ &|H(re^{i\varphi}) + H(- re^{i\varphi})| < e^{r\psi(\varphi)} r^{\beta_2} \end{aligned} \] ist wobei \(\beta_1< 0\), \(\beta_2 < 1\). Auch die absolute Konvergenz wird untersucht und das Resultat mit den weniger scharfen Ergebnissen von Whittaker und Ogura verglichen. (Vgl. die vorigen Referate.) Schließlich folgt eine eingehende Untersuchung des Falles, wo \(h(\varphi) \leqq \psi(\varphi)\) und das Gleichheitszeichen nur für endlich viele Werte von \(\varphi\) eintritt. In dem zweiten Teil wird die Newtonsche Reihe \[ \sum_{s=0}^\infty(-1)^s a_s\binom {z-1}s \] analog untersucht. Es wird durch ähnliche Betrachtungen wie im ersten Teile ein Satz von F. Carlson wieder bewiesen, der eine hinreichende Bedingung zur Entwickelbarkeit einer in einer Halbebene \(\Re z \geqq \alpha\) regulären Funktion \(\varPhi(z)\) in Newtonsche Reihe liefert (F. d. M. 45, 646 (JFM 45.0646.*), 1914-15). Hier tritt \[ \limsup_{r\to \infty} \frac{\log |H(\alpha + re^{i\varphi})|}r\quad \left(-\frac \pi 2 \leqq \varphi \leqq \frac \pi 2\right) \] an Stelle von \(h(\varphi)\) und die Carlsonsche Funktion \[ \cos \varphi \log(2 \cos \varphi) + \varphi \sin \varphi \] an Stelle von \(\psi(\varphi)\). In der zweiten C. R.-Note wird darüber hinaus bemerkt, daß eine Funktion \(H(z)\) dann und nur dann in die Newtonsche Reihe entwickelbar ist, wenn sie sich in einer Halbebene \(\Re z>\lambda\) regulär verhält und dort einer Ungleichung der Form \[ |H(z)| < e^{k|z|}\quad (k \;\text{konstant}) \] genügt. Die Bestimmung der Konvergenzabszisse geschieht mit Hilfe einer Funktion \(k(\sigma)\), die für \(\sigma >\lambda\) definiert ist als untere Grenze aller Zahlen \(k\), für welche \[ \lim_{t\to \infty} H(\sigma+ it)e^{-k|t|}=0 \] ist. (Man vgl. hierzu das nächstfolgende Referat.)