Nogle bemaerkninger angaaende interpolation med æquidistante argumenter. (Einige Bemerkungen über die Interpolation mit äquidistanten Argumenten.) (Q1461983)

Verf. untersucht die Konvergenz der bekannten Interpolationsformeln von Gauß, Stirling und Bessel. Zuerst wird die Reihe \[ H(z) = \sum_{s=0}^\infty a_sz(z^2-1^2)(z^2-2^2)\ldots (z^2-s^2) \] betrachtet; es wird bewiesen, daß, wenn diese Reihe für ein nicht ganzes \(z=z_0\) konvergiert, dies auch in der ganzen Ebene gilt, und zwar gleichmäßig in jedem endlichen Gebiete derselben. Man findet \(|H(z)| < K \cdot e^{\pi|s|}\), wo \(K\) eine Konstante ist, und wo \(\pi\) durch keine kleinere Zahl ersetzt werden kann; \(H(z)\) ist also eine ganze Funktion der Ordnung \(\leqq 1\). Setzt man \[ \varDelta H(z) = H(z+1)-H(z), \;\cdots, \;\varDelta ^n H(z) = \varDelta(\varDelta ^{n-1}H(z), \] so findet man \[ \varDelta ^n H(z)=\frac {n!}{2\pi i}\int \frac{H(\zeta)\,d\zeta}{(\zeta-z) (\zeta-z-1)\ldots (\zeta-z-n)}, \] wo der Integrationsweg ein Kreis \(C_n\) um den Nullpunkt ist, der die Punkte \(z, z +1, \ldots, z + n\) umschließt. Von der Identität \[ \frac 1{\zeta-z}=\frac 1{\psi_1(z)}+\sum_{s=1}^{n-1} \frac{\psi_s(z)}{\psi_{s+1}(\zeta)}+\frac{\psi_n(z)}{\psi_n(\zeta)}\cdot \frac 1{\zeta- z} \] ausgehend, findet man weiter die beiden Gaußschen Interpolationsformeln \[ \begin{gathered} H(z)=\sum_{s=0}^n \binom {z+s}{2s}\varDelta ^{2s}H(-s)+ \sum_{s=0}^{n-1}\binom{z+s}{2s+1}\varDelta^{2s+1}H(-s-1)+R_{2n+1},\\ H(z)=\sum_{s=0}^n \binom {z+s-1}{2s}\varDelta ^{2s}H(-s)+ \sum_{s=0}^{n-1}\binom{z+s}{2s+1}\varDelta^{2s+1}H(-s)+R_{2n+1}, \end{gathered} \] wobei \[ R_{2n+1}=\frac 1{2\pi i}\int\limits_{C_n}\frac {z(z^2 -1^2)(z^2-2^2)\cdots (z^2-n^2)}{\zeta(\zeta^2-1^2)(\zeta^2-2^2)\cdots (\zeta^2-n^2)} \frac{H(\zeta)}{\zeta-z}\,d\zeta. \] Duch Addition dieser Formeln erhält man die Stirlingsche Interpolationsformel \[ \begin{multlined} H(z)=\sum_{s=0}^n \frac {z^2(z^2 -1^2) \cdots (z^2-(s-1)^2)}{(2s!)}\varDelta^{2s}H(-s) \\ +\sum_{s=0}^{n-1} \frac {z(z^2 -1^2) \cdots (z^2-s^2)}{(2s+1)!} \nabla \varDelta^{2s+1}H(-s-1)+R_{2n+1}, \end{multlined} \] wobei zur Abkürzung gesetzt ist \[ \nabla H(z)=\frac{H(z+1)+H(z)}2. \] Durch eine andere einfache Behandlung der zwei ersten Formeln entsteht die Besselsche Interpolationsformel: \[ \begin{multlined} H(z)=\sum_{s=0}^n \frac {(z^2 -(\frac 12)^2)(z^2-(\frac 32)^2) \cdots (z^2-(s-\frac 12)^2)}{(2s!)}\nabla \varDelta^{2s}H(-s-\frac 12) \\ +z\sum_{s=0}^{n-1} \frac {(z^2 -(\frac12)^2) \cdots (z^2-(s-\frac 12)^2)}{(2s+1)!} \varDelta^{2s+1}H(-s-\frac 12)+R_{2n+1}. \end{multlined} \] Man findet leicht Formeln für die Restglieder. Indem der Integrationsweg durch einen anderen symmetrischen Weg ersetzt wird, der sich aus zwei Bögen des Kreises \(r=\log n\) und zwei Bögen der Lemniskate \(r= n \sqrt{2 \cos 2v}\) zusammensetzt, findet man, daß \(R_{2n+1}\) und \(R_{2n}\) beide \(\to 0\) für \(n \to \infty\), wenn \(H(z)\) den Ungleichungen genügt: \[ |H(z)-H(-z)| < e^{r\psi(v)}\cdot r^{\beta_1},\quad |H(z)+H(- z)|<e^{r \psi(v)}\cdot r^{\beta_2}, \] wo \(\beta_1<0\), \(\beta_2<1\) und \[ \psi(v)= \left\{ \begin{matrix} \l&\l \\ \cos v\log(\sqrt{\cos 2v}+\sqrt 2\cos v)^2&+2\sin v\arcsin(\sqrt 2 \sin v)\\ &\text{für} \;0\leqq |v|\leqq \dfrac \pi 4, \;\dfrac{3\pi}4 \leqq |v|\leqq \pi,\\ \\ \pi|\sin v|&\text{für} \;\dfrac \pi 4 \leqq |v| \leqq \dfrac {3\pi}4. \end{matrix} \right. \] In diesem Falle konvergiert also das Gaußsche und das Stirlingsche Restglied gegen Null; dasselbe tut das Besselsche Restglied, wenn \(H(z)\) denselben Ungleichheiten genügt, wo \(\beta_1< 1\), \(\beta_2 < 0\). (Die letzte Reihe empfehlt sich also für eine ungerade, die beiden ersten für eine gerade Funktion.) Es ist also ersichtlich, daß bei \(\beta_1<0\), \(\beta_2<1\) die beiden Gaußschen Interpolationsreihen konvergieren, wenn je zwei aufeinanderfolgende Glieder vereinigt werden: \[ \begin{aligned} &H(z)=H(0)+\sum_{s=1}^\infty\left[ \binom {z+s}{2s}\varDelta^{2s}H(-s)+ \binom{z+s-1}{2s-1}\varDelta^{2s-1}H(-s)\right],\\ &H(z)=H(0)+\sum_{s=1}^\infty \left[\binom {z+s-1}{2s}\varDelta^{2s}H(-s)+ \binom{z+s-1}{2s-1}\varDelta^{2s-1}H(-s+1)\right]; \end{aligned} \] vereinigt man sie dagegen nicht, so muß man außerdem fordern, daß das allgemeine Glied gegen 0 konvergiert, was ergibt: \[ \beta_1< 0 \quad \text{und}\quad \left\{ \begin{matrix} \l\quad &\l \\ \beta_2<1 &\text{für}\quad \dfrac{3\pi}4 >v > \dfrac \pi 4, \\ \\ \beta_2<0 &\text{für}\quad \dfrac \pi 4 \geqq v \geqq -\dfrac \pi 4. \end{matrix} \right. \] Es läßt sich z. B. \(\cos \pi z\) in die (in der ganzen Ebene bedingt konvergente) Gaußsche Reihe entwickeln: \[ \begin{multlined} \cos \pi z =1+2\binom z1-2^2\binom{z+1}2+ \cdots +(-1)^n2^{2n}\binom{z+n}{2n}\\ +(-1)^n2^{2n+1}\binom{z+n}{2n+1} + \cdots . \end{multlined} \] sin \(\pi z\) läßt sich nicht ebenso entwickeln, weil sämtliche Koeffizienten 0 werden, trotzdem \(\sin \pi z\) der Bedingung für \(\beta_2\) genügt (daß z. B. \(= - 1\) gesetzt werden kann); \(\beta_1 < 0\) ist also notwendig. Es werden weiterhin auch Bedingungen für die absolute Konvergenz angegeben: Dieselben lauten bei der Gaußschen Reihe: \(\beta_1<-1\), \(\beta_2<-2\), bei der Stirlingschen Reihe: \(\beta_1< -1\), \(\beta_2<0\), bei der Besselschen Reihe: \(\beta_1<0\), \(\beta_2<-1\). Für eine gerade Funktion vereinfachen sich die Formeln von Stirling und Bessel: \[ \begin{aligned} &H(z)=\sum_{s=0}^\infty \frac {z^2(z^2 -1^2) \cdots (z^2-(s-1)^2)}{(2s)!}\varDelta^{2s}H(-s) \;\;\text{bzw.} \\ &H(z)=\sum_{s=0}^\infty \frac {(z^2 -(\frac12)^2)(z^2-(\frac 32)^2) \cdots (z^2-(s-\frac 12)^2)}{(2s)!} \varDelta^{2s}H(-s-\frac 12); \end{aligned} \] ebenso für eine gerade Funktion: \[ \begin{aligned} &H(z)=\sum_{s=0}^\infty \frac {z(z^2 -1^2)(z^2-2^2) \cdots (z^2-s^2)}{(2s+1)!}\varDelta^{2s+1}H(-s) \;\;\text{bzw.} \\ &H(z)=z\sum_{s=0}^\infty \frac {(z^2 -(\frac12)^2)(z^2-(\frac 32)^2) \cdots (z^2-(s-\frac 12)^2)}{(2s+1)!} \varDelta^{2s+1}H(-s-\frac 12). \end{aligned} \] Nach dieser letzten Formel findet man z. B. \[ \sin \pi z = z \sum_{s=0}^\infty (-1)^s \frac {2^{2s+1}}{(2s+1)!} (z^2-(\tfrac 12)^2)(z^2-(\tfrac 32)^2) \cdots (z^2-(s-\tfrac 12)^2). \] Endlich werden die gefundenen Konvergenzbedingungen in einem Spezialfall, wofür die Funktion \(H(z) = t^{2z}\) als Typus gilt, näher präzisiert.