Über ganzwertige Funktionen. (Q1461984)

Es sei \(V (x)\) eine ganze Funktion; sie heißt \textit{ganzwertig}, wenn die Funktionswerte \[ V(n)\;\text{für}\;n = o,\pm1,\pm2,\dots \] ganze rationale Zahlen sind. Die Funktion \(v(\varphi)\) sei durch die Beziehung \[ e^{v(\varphi)}=\varlimsup_{r\to\infty } \overset{\;r\hfill}{\sqrt{|\,V(re^{i\varphi})\,|}}, -\pi \leqq \varphi<\pi, \] bestimmt. Es sei ferner \(\zeta=\varrho e^{i\varphi}\) irgendein Punkt des Cassinischen Ovals: \[ |\,\zeta-1\,|\,|\,\zeta+1\,|=4; \] setzt man \[ \biggl|\,\biggl(\frac{\zeta+1}{\zeta-1}\biggr)^\zeta\,\biggr|= e^{\varrho\lambda(\varphi)}, \] so ist hierdurch eine in (\(-\pi,\pi \)) stetige Funktion \(\lambda(\varphi)\) definiert. Insbesondere ist \[ \lambda(0)=\lambda(\pm\pi )= \log\frac{3+\sqrt5}{2},\;\; \lambda\biggl(\frac{\pi }{2}\biggr)=\frac{\pi }{3},\;\; \lambda(\varphi)\geqq \log\frac{3+\sqrt5}{2}. \] Nun beweist Carlson den bemerkenswerten Satz: 1. Wenn \(v(\varphi)<\lambda(\varphi)\) für alle \(\varphi\) gilt, so ist \(V(x)\) ein Polynom; 2. wenn \(v(\varphi)\leqq \lambda(\varphi)\) und nur endlich oft die Gleichheit gilt, so gibt es eine natürliche Zahl \(p\) und Polynome \(p(x)\), \(p_z(x)\), so daß \[ V(x) = p(x) + \textstyle \sum\limits_{z} \displaystyle p_z(x) z^{-x} \] ist, wobei über die Wurzeln \(z\) der Gleichung \[ \biggl(z+\frac{1}{z}-2\biggr)^p=1 \] summiert wird; 3. wenn stets \(v(\varphi)\leqq \lambda(\varphi)\) und für unendlich viele \(\varphi\)-Werte \(v(\varphi)<\lambda(\varphi)\) gilt, dann ist für jedes \(\varphi\) entweder \(v(\varphi)\) oder \(v(\varphi\pm\pi )\) gleich \(\lambda(\varphi)\); es gibt ganzwertige Funktionen mit dieser Eigenschaft. Eine solche Funktion ist z. B. \[ U(x)=\textstyle \sum\limits_{\nu=1}^{\infty } \displaystyle \binom{x+\nu^2-1}{2\nu^2-1}; \] bei ihr wird \[ \varlimsup_{r\to\infty }\overset{\;r\hfill} {|\,U(re^{i\varphi})\,|}=e^{\lambda(\varphi)}. \] Beim Beweise werden geeignete Interpolationsformeln benutzt. Ein analoger Satz gilt für Funktionen \(W(x)\), die in der Halbebene \(\mathfrak Rx\geqq 0\) regulär sind und an den Stellen \(x = 0\), 1, 2, \dots ganzzahlige Werte annehmen. In den Carlsonschen Sätzen sind speziell gewisse Resultate von Pólya (F. d. M. 47, 299 (JFM 47.0299.*), 1919-20) enthalten.