Über eine besondere Art der Reihendarstellung von analytischen Funktionen. (Q1461988)

Es handelt sich um Entwicklungen beliebig oft differentiierbarer (reeller) Funktionen nach gewissen Polynomen, die mit den Bernoullischen Polynomen in naher Beziehung stehen, nämlich nach den Polynomen \(\varLambda_\nu(p)=\varLambda_\nu(p,h)\), die als Koeffizienten von \(u^\nu\) in der Potenzreihenentwicklung von \[ J=\frac{uh}{\mathfrak {Sin}\,uh}e^{up} \] auftreten. Sie hängen mit den Bernoullischen Polynomen durch die Beziehung \[ \varphi_\nu(p)=\varLambda_\nu(p-h)-\varLambda_\nu(h) \] zusammen und sind andrerseits durch eine gewisse Minimumsforderung bezüglich bestmöglicher Darstellung einer gegebenen Funktion \(F (z)\) in \(-h\leqq z\leqq +h\) charakterisiert. Diese Darstellung wird \[ F(z)\sim \textstyle \sum\limits_{\nu}\displaystyle \frac{\varLambda_\nu(z)}{2h} \underset{-h\hfill}{\int^{+h}}F^{(\nu)}(t)\,dt. \] Sie geht für \(h\to 0\) formal in die Taylorsche Reihe über. Es werden dann hinreichende Bedingungen dafür aufgestellt, daß die Reihe für \(|\,z\,|\leqq h\) gleichmäßig konvergiert und die Funktion \(F(z)\) darstellt. -- Endlich werden die gegebenen Entwicklungen dazu benutzt, um gewisse Erweiterungen der Eulerschen Summenformel herzuleiten.