Beiträge zur Kenntnis der Laguerreschen Polynome. (Q1462060)

Verf. beweist u. a. folgende interessante Eigenschaft der Nullstellen \(\lambda_{n\nu} (\nu = 1, 2,\dots, n)\) des \(n\)-ten Laguerreschen Polynoms \(L_n(x)\), definiert durch die Potenzreihe \[ \frac {e^{-\tfrac{xt}{1-t}}} {1-t} = \sum_{n=0}^\infty L_n(x)t^n. \] Bekanntlich sind die \(\lambda_{n\nu}\) sämtlich positiv und voneinander verschieden. Werden sie nach wachsender Reihenfolge geordnet, dann ist \[ \lambda_{n\nu}= C_{n\nu} \frac {(\nu+1)^2}{\nu + 1}, \] wobei \(\frac 14 \leqq C_{n\nu} \leqq 4\) ist für alle Werte von \(\nu\) und \(n\). Es ist ferner \[ \frac 1n < \lambda_{n1} < \frac 2{n+1}, \quad 3n -4< \lambda_{nn} <4n + 2. \] Außerdem untersucht Verf. die Maxima der Kurve \(y = L_n(x)\); auf Grund dieser Betrachtungen wird endlich eine Abschätzung von \(L_n(x)\) für positive \(x\) erzielt. (II 3.)