Arithmetische Theorie der algebraischen Funktionen. (Q1462066)

Inhaltsübersicht. I. Der Körper \(K(z)\) der rationalen Funktionen von \(z\). Untersuchung der rationalen Funktionen von \(z\) für eine Stelle dieser Variablen. 2. Der Körper \(\overline{K}(\mathfrak{p})\) aller zur Stelle \(\mathfrak{p}\) gehörigen Potenzreihen und der Unterkörper \(K(\mathfrak{p})\) der zu \(\mathfrak{p}\) gehörigen konvergenten Potenzreihen. 3. Untersuchung der rationalen Funktionen von \(z\) für alle Stellen der ganzen Kugelfläche. Die rationalen Divisoren. II. Der Körper \(K(u, z)\) der algebraischen Funktionen einer Variablen. 4. Allgemeine Sätze über die algebraischen Funktionen. 5. Untersuchung der Funktionen des Körpers \(K(u, z)\) in der Umgebung einer Stelle \(\mathfrak{p}\) der unabhängigen Variablen. 6. Die Grundgleichung ist für den Bereich \(\overline{K}(\mathfrak{p})\) irreduktibel. 7. Allgemeiner Fall: Die Grundgleichung zerfällt innerhalb \(\overline{K}(\mathfrak{p})\) in mehrere irreduktible Faktoren. 8. Die dem Körper \(K(u, z)\) zugeordnete Riemannsche Kugelfläche \(\mathfrak{K}_z\). 9. Direkte Berechnung der zu einer Stelle \(\mathfrak{p}\) gehörigen Wurzelzyklen. Das zu \(\mathfrak{p}\) gehörige Diagramm. 10. Untersuchung der algebraischen Funktionen des Körpers für alle Stellen der Riemannschen Kugelfläche \(\mathfrak{K}_z\). Die algebraischen Divisoren. 10 a. Die arithmetischen Begründungen des Punktbegriffes. 11. Untersuchung der Funktionen des Körpers \(K(u, z)\) in bezug auf ihre Teilbarkeit durch einen beliebigen Divisor. 12. Die algebraischen Systeme und ihre Elementarteiler. 13. Die eindeutigen Transformationen des Körpers \(K(u, z)\) in den ihm gleichen \(K(y, x)\) bei beliebiger Annahme der unabhängigen Variablen \(x\). 14. Die Einteilung der algebraischen Divisoren in Klassen. 15. Die Divisorenscharen und ihre Invarianten. 16. Die ganzen Divisoren einer Klasse \(Q\). III. Die zu dem Körper \(K(y, x)\) gehörigen Abelschen Integrale. 17. Die Abelschen Integrale. 18. Die Differentiale der Elemente des Körpers \(K\) und die zugehörigen Divisoren. 19. Die Differentialklasse \(W\). 20. Die Fundamentalaufgabe in der Theorie der Abelschen Integrale. Der Riemann-Rochsche Satz. 21. Die Elementarintegrale erster, zweiter und dritter Gattung. 22. Spezialisierung für die Integrale mit rationalem Integranden. IV. Die zum Körper \(K(y, x)\) gehörigen algebraischen Kurven. 23. Die ebenen algebraischen Kurven und ihre singulären Punkte. 24. Der zur Kurve \(\mathfrak{C}\) gehörige Divisor der Doppelpunkte. 25. Auflösung der Singularitäten einer Kurve. 26. Die zu einer Gleichung \(F(x, y)\) gehörigen Funktionenringe. 27. Darstellung der zum Körper \(K\) gehörigen Kurven durch homogene Koordinaten. 28. Die Differentialteiler einer Divisorenschar und ihre Anwendung in der Geometrie. Die Plückerschen Formeln. 29. Theorie der algebraischen Raumkurven. V. Die Klassen algebraischer Gebilde. 30. Die Hauptkurve eines Körpers und ihre Weierstraßpunkte. 31. Die Normalgleichungen und die Moduln der algebraischen Körper. 32. Die Normalgleichungen und die Moduln der allgemeinen Körper vom Geschlecht \(p\). VI. Algebraische Relationen zwischen Abelschen Integralen. 33. Algebraische Normierung der Fundamentalintegrale erster und zweiter Gattung. 34. Die Integrale dritter Gattung und der Satz von der Vertauschung von Parameter und Argument. 35. Einteilung aller Wege auf einer Riemannschen Fläche in Klassen. 36. Die Fundamentalsysteme von Periodenwegen für eine Riemannsche Fläche. 37. Die Periodenrelationen der Integrale erster und zweiter Gattung. 38. Die Beziehungen zwischen den verschiedenen Fundamentalsystemen von Periodenwegen. 39. Die Perioden der Integrale zweiter und dritter Gattung als Funktionen ihrer Unstetigkeitspunkte. 40. Die Primfunktionen. Zerlegung der Funktionen des Körpers in Primfunktionen. 41. Das Abelsche Theorem als Additionsprinzip der Integrale. 42. Die aus dem Abelschen Theorem folgenden Reduktionsprobleme. 43. Das Umkehrproblem für die Abelschen Integrale. VII. (Anhang.) Arithmetische Theorie der algebraischen Zahlen. 44. Der Körper \(K(1)\) der rationalen Zahlen und der Körper \(K(p)\) der \(p\)-adischen Zahlen. 45. Die algebraischen Zahlkörper und die ihnen isomorphen rationalen Kongruenzkörper. 46. Untersuchung der rationalen Kongruenzkörper für den Bereich einer Primzahl \(p\). Ihre Reduktion auf den \(p\)-adischen Kongruenzkörper. 47. Die \(p\)-adischen Kongruenzkörper und die ihnen isomorphen Körper \(K(\mathfrak{P})\) der \(\pi\)-adischen algebraischen Zahlen. 48. Der zu einer vorgelegten Gleichung \(F(x) = 0\) zugehörige Galoissche \(\pi\)-adische Zahlkörper \(K(\mathfrak{P})\). -- Abgeschlossen ist der Artikel im März 1921.