Sulla teoria degl'integrali semplici di 1\(^{\text{a}}\) specie appartenenti ad una superficie algebrica. I-VII. (Q1462068)

In der vorliegenden Arbeit werden bekannte Sätze über die einfachen Integrale erster Gattung einer algebraischen Fläche wesentlich erweitert und vertieft. Es sei \(q = p_g - p_a\) die Irregularität einer algebraischen Fläche \(F[f(x, y, z) = 0]\) der Ordnung \(m\) und es sei \(p\) das Geschlecht eines ebenen allgemeinen Schnittes. Dann kann man \(q\) linear unabhängige adjungierte Flächen der Ordnung \(m - 2\) \[ \varphi_1 (x,y,z) =0, \ldots, \varphi_q (x,y,z) =0 \tag{1} \] finden, deren Gleichungen in \(x, z\) vom Grade \(m - 3\) sind und \(p - q\) linear unabhängige adjungierte Flächen der Ordnung \(m-3\): \[ \varphi_{q+1} (x,y,z) =0, \ldots, \varphi_p (x,y,z) =0, \tag{2} \] und zwar so, daß die Flächen (1) und (2) auf einer allgemeinen Ebene \(y =\) konst. die \(p\) linear unabhängigen Kurven der Ordnung \(m - 3\) ausschneiden, die zu der von der Ebene aus \(F\) ausgeschnittenen Kurve adjungiert sind. Diese \(p\) Kurven werden nur für eine endliche Zahl von \textit{kritischen Werten} des Parameters \(y\) linear abhängig. Außerdem gibt es eine endliche Zahl von \textit{singulären Werten} von \(y\), die den ebenen Schnitten \(y =\) konst. entsprechen, deren Geschlecht kleiner ist als \(p\). Die Flächen (1) kann man so wählen, daß sie linear unabhängig bleiben, welchen konstanten Wert man auch für \(y\) einsetzen mag. Setzt man \[ u_i = \int \dfrac{\varphi_i}{f_z'}dx \qquad (i=1,\ldots,p), \tag{3} \] so sind die Integrale (3) bei konstantem, nicht speziell gewähltem \(y\) Integrale erster Gattung der Kurve \(f(x, y, z) = 0\). Sie können in solche dritter Gattung übergehen für die singulären Werte von \(y\). Es sei \(O\) einer der \(m\) Schnittpunkte von \(F\) mit der den Ebenen \(y =\) konst. gemeinsamen unendlich fernen Geraden. Es werde \(O\) als untere Grenze der Integrale (3) gewählt. Es seien ferner \(P_1, P_2,\ldots, P_p\) \(p\) veränderliche Punkte der Kurve \(f(x, y, z) = 0\), die einem gegebenen allgemeinen Werte von \(y\) entsprechen. Stellen wir die Gleichungen auf \[ u_i(P_1)+\cdots + u_i(P_p)\equiv c_i \;[\text{mod der Perioden der Integrale (3)}], \tag{4} \] wo die \(c_i\) beliebige Konstanten sein sollen, so haben diese Gleichungen nach dem Umkehrsatze von Jacobi für jedes Wertsystem \(c_i\) eine bestimmte Gruppe von \(p\) Punkten \(P_a\) als Lösung. Läßt man den Parameter \(y\) variieren, so beschreiben die \(p\) Punkte eine Kurve \(C\) auf \(F\) und es wird bewiesen, daß diese Kurve dann und nur dann algebraisch ist, wenn die Konstanten \(c_{q+1},\ldots, c_p\) gleich Null sind, während die \(q\) Konstanten \(c_1,\ldots, c_q\) beliebig sein können. Wählt man \(c_{q+1},\ldots, c_p\) gleich Null und läßt die Konstanten \(c_1,\ldots, c_q\) variieren, so erhält man auf \(F\) eine Schar von \(\infty^q\) algebraischen Kurven \(C\), die nicht zueinander linear äquivalent sind. Daraus folgt dann nach einem früher vom Verf. bewiesenen Satze (Il teorema d'Abel sulle superficie algebriche, Annali di Mat. (3) 12, 55-79, 1905; F. d. M. 36, 694 (JFM 36.0694.*), 1905) die Existenz von \(q\) zu \(F\) gehörenden einfachen Integralen erster Gattung mit \(2q\) Perioden. Zum Schluß wird noch ein neues Kriterium dafür hergeleitet, daß zwei Kurven von \(F\) algebraisch abhängig sind. Das Kriterium benutzt nur die einfachen Integrale erster Gattung. (V 5 E.)