Zur letzten Eintragung im Gaußschen Tagebuch. (Q1462094)

Es handelt sich um die von Gauß durch Induktion erschlossene Tatsache, daß für einen komplexen primären Primzahlmodul \(\pi (\equiv 1, (1 - i)^3)\) die Anzahl der Lösungen (inklusive \(x, y \equiv \pm i, \;\infty ; \infty, \pm i\)) der Kongruenz \[ x^2y^2+x^2+y^2\equiv 1 \;(\text{Mod.}\pi ) \] gleich der Norm von \(\pi - 1\) ist. Verf. weist darauf hin, daß die fraglichen Lösungen mit den Kongruenzwurzeln Mod. \(\pi\) der Teilungsgleichungen für die Größen \[ \begin{aligned} &x = \sin \text{ lemn }\left(\alpha\dfrac{\omega_3}{\pi - 1}\right), \\ &y = \cos \text{ lemn }\left(\alpha\dfrac{\omega_3}{\pi -1}\right), \end{aligned} \] zusammenfallen; hierbei ist \(\omega_3 = -2(1+i)\int\limits_0^1\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^4}}\).