Über die Entwicklungskoeffizienten der Weierstraßschen \(\wp\)-Funktion. (Q1462098)

A. Hurwitz hat im lemniskatischen Fall für die Entwicklungskoeffizienten der Weierstraßschen \(\wp\)-Funktion Partialbruchzerlegungen angegeben, die der von Staudtschen Zerlegung der Bernoullischen Zahlen analog ist. Als einfache Ursache dieser Erscheinung wird nun der Umstand aufgedeckt, daß bei allgemein gelassenem Periodenverhältnis die passend normierten Koeffizienten in zwei Bestandteile zerfallen, von denen der eine ganz in \(j\), \(\gamma_2\), \(\gamma_3\) (siehe Weber Algebra III), der andere aber das Produkt eines solchen Ausdrucks mit einer Bernoullischen Zahl ist. Da nun im Falle der komplexen Multiplikation die Größen \(j\), \(\gamma_2\), \(\gamma_3\) ganz algebraisch ausfallen, so erhellt, daß man als Nenner einer Partialbruchdarstellung immer gerade die von Staudtschen Primzahlen erhalten wird. Eine genauere Analyse der Zähler unserer Partialbruchentwicklung lehrt dann noch, daß dabei die Primzahlen mit \(\left(\dfrac Dp\right)=-1\) in Wegfall kommen, wo \(D\) die Diskriminante des betrachteten quadratischen Zahlkörpers ist. Besonders einfache Ergebnisse werden für die einklassigen Körper gewonnen.