Sur les systèmes de relations singulières entre les périodes de fonctions abéliennes à trois variables. (Q1462114)

Sind \[ \begin{matrix} 1&0&0&G&H''&H'\\ 0&1&0&H''&G'&H\\ 0&0&1&H'&h&G'' \end{matrix} \] die Perioden eines Systems Abelscher Funktionen dreier Veränderlichen, so gestatten diese Funktionen dann und nur dann eine singuläre (d. h. nicht Hermitesche, bei jeder Abelschen Funktion vorhandene) Transformation, und es gibt dann und nur dann singuläre, d. h. nicht durch Thetareihen mit denselben Perioden darstellbare Zwischenfunktionen, wenn zwischen den zweireihigen Unterdeterminanten der Periodenmatrix drei lineare Gleichungen, die singulären Relationen, bestehen, von deren Koeffizienten 14 willkürlich, aber ganzzahlig zu wählen sind. Der Verf. untersucht die verschiedenen möglichen Systeme singulärer Relationen und ihre Beziehungen zueinander im Anschluß an Humberts Bearbeitung derselben Fragen bei Abelschen Funktionen zweier Veränderlichen (Journ. de Math. (5) 5, 233; (5) 6, 279; F. d. M. 30, 408, 1899; 31, 455, 1900), vorläufig ohne Rücksicht auf die Forderung der Ganzzahligkeit. Unter den vielen Ergebnissen mögen die folgenden hervorgehoben werden. Deutet man \(G\),\dots, \(H''\) als Koordinaten in einem Raume \(E_6\) (Indizes bezeichnen die Dimensionenzahl), die 14 unabhängigen Koeffizienten eines Relationensystems als homogene Koordinaten in \(E_{13}\), so handelt es sich um die Geometrie dieser beiden Räume auf Grund der Gruppe der Hermiteschen Transformationen bzw. der von dieser induzierten Gruppe. Aus einem Relationensystem, d. h. einem Punkt \(T\) von \(E_{13}\) erhält man ein anderes, das aus ihm folgt, d. h. einen anderen Punkt \(T'\), durch eine quadratische Transformation \(F\) von \(E_{13}\). Die Fixpunkte (``Ausnahmepunkte'') erfüllen eine Mannigfaltigkeit \(V_8\). Jeder andere Punkt \(T\) bestimmt mit dem zugehörigen \(T'\) eine Gerade \(D\). Die den Punkten von \(D\) entsprechenden Relationen gelten zugleich mit den \(T\) entsprechenden. \(D\) geht bei \(F\) in sich über. Auf jeder Geraden \(D\) liegen drei Ausnahmepunkte. Fallen zwei von ihnen zusammen, so heißt dieser doppelter Annahmepunkt. Diese Eigenschaft ist unabhängig davon, auf welcher Geraden \(D\) der Punkt betrachtet wird. Die einem Punkt \(T\) von \(E_{13}\) zugehörigen Relationen scheiden aus \(E_6\) im allgemeinen eine Mannigfaltigkeit \(S_3\) aus. Ist aber \(T\) ein Ausnahmepunkt, so wird es eine \(S_4\), und zwar im allgemeinen ein Zylinder, bei einem doppelten Ausnahmepunkt ein Kegel. Ein Relationensystem läßt also im allgemeinen drei, im Ausnahmefall vier von den sechs Perioden \(G\),\dots, \(H''\) willkürlich. Es werden auch noch diejenigen Mannigfaltigkeiten untersucht, die aus \(E_6\) durch die Relationen einer linearen, bei \(F\) in sich übergehenden Mannigfaltigkeit in \(E_{13}\) ausgeschieden werden.