Sur la résolution de cértaines équations intégrales. (Q1462128)

Eine äußerst elegante, funktionentheoretische Behandlung einiger besonderer Integralgleichungen. 1. Es mögen \(f(x)\) und \(A(x)\) (\(A(x)\) reell) analytische und reguläre Funktionen in dem Intervalle \(-1\leqq x\leqq 1\) bezeichnen. Die Integralgleichung \[ A(x)u(x)+\int_{-1}^{+1}\frac{u(x)-u(y)}{x-y}\,dy=f(x) \tag{1} \] besitzt Lösungen, die in dem Intervalle \(-1\leqq x\leqq 1\) analytisch und regulär sind: \[ \begin{gathered} u(x)=\frac1{2\pi iQ(x)}\int\limits_C\frac{f(z)Q(z)}{R(z)(z-x)}\,dz+\frac K{Q(x)},\\ R(z)=A(z)+\log\frac{z+1}{z-1},\\ \frac{Q'(x)}{Q(x)}=\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{R'(z)}{R(z)}\frac{dz}{z-x}, \end{gathered} \] unter \(C\) eine einfach geschlossene Kurve verstanden, die \(-1\leqq x\leqq 1\) einschließt und überdies so beschaffen ist, daß alle in der längs der Strecke \(-1\leqq x\leqq 1\) aufgeschnittenen Ebene befindlichen Singularitäten der Funktionen \(f(z)\), \(A(z)\), \(\dfrac1{R(z)}\) außerhalb von \(C\) liegen. Die zu (1) gehörige homogene Integralgleichung wird durch \(u(x)=\dfrac1{Q(x)}\) befriedigt. 2. Dieses Resultat gestattet, diejenige Integralgleichung, die man erhält, wenn man in (1) linkerhand \(\int_{-1}^{+1}k(x,y)u(y)\,dy\) hinzufügt (\(k(x,y)\) analytisch und regulär), auf die Auflösung einer Fredholmschen Integralgleichung zurückzuführen. -- Die Voraussetzungen bezüglich \(f(x)\), \(A(x)\), \(k(x,y)\) lassen sich erheblich herabsetzen. 3. Es seien \(a(x)\) und \(f(x)\) für \(-1\leqq x\leqq 1\) analytisch. Die Integralgleichung \[ a(x)u(x)-\lambda\int_{-1}^{+1}\frac{u(y)}{y-x}\,dy=f(x)\qquad(\lambda>0) \tag{2} \] wird befriedigt durch \[ \begin{gathered} u(x)=\frac{a(x)}{[a(x)]^2+\pi^2\lambda^2}f(x)+\frac{\lambda e^{\omega(x)}} {\sqrt{[a(x)]^2+\pi^2\lambda^2}}\int_{-1}^{+1}\frac{e^{-\omega(s)}f(s)} {\sqrt{[a(x)]^2+\pi^2\lambda^2}}\frac1{s-x}\,dx\\ +\frac{ke^{\omega(x)}}{(1-x)\sqrt{[a(x)]^2+\pi^2\lambda^2}}\;\text{(\(k={}\)willkürliche Konstante),}\\ \omega(x)=\int_{-1}^{+1}\frac{\theta(s)}{s-x}\,ds,\quad 2\pi i\theta(x)=\log\frac{a(x)+\lambda\pi i}{a(x)-\lambda\pi i}\qquad (0<\theta(x)<1). \end{gathered} \] Die in 2. zusammengefaßten Bemerkungen gelten sinngemäß auch jetzt.