Su di un' equazione integrale di prima specie. (Q1462139)

Levi-Civita hat gezeigt, wie die Bestimmung der in einem Gebiete \(S\) zu einer gegebenen Funktion \(U\) \textit{nächstbenachbarten harmonischen Funktion} (armonica viciniore) \(u\) zurückgeführt werden kann auf die Umkehrung der Integralgleichung erster Art \[ \int\limits_\sigma N(Q,Q')\mu(Q')\,d\sigma_{Q'}=V(Q), \tag{1} \] wo \(\sigma\) den Rand von \(S\) bedeutet, \(\mu\) die unbekannte und \(V\) eine gegebene Funktion, und wo der Kern \(N\) im Fall eines zweidimensionalen \(S\) die Form hat \[ N(Q,Q')=\int\limits_S\log\frac1{r(P,Q)}.\log\frac1{r(P,Q')}\,dS_P. \] Da andererseits die Bestimmung von \(u\) auch durch Zurückführung auf ein \textit{biharmonisches Problem} möglich ist, so schließt man, daß die Integralgleichung (1) eine Umkehrung besitzen muß, was auf den ersten Blick seltsam erscheint, da ihr Kern überall endlich ist. Verf. hat im Falle des Kreisgebietes gefunden, daß der innere Grund für die Umkehrbarkeit von (1) darin zu suchen ist, daß die dritten Ableitungen von \(N\) für \(Q=Q'\) von erster Ordnung unendlich groß werden. In der Tat wird (1) durch, eine dreifache Differentiation zurückgeführt auf die singuläre Integralgleichung \[ \int_0^l\operatorname{cot}\frac\pi l(s-s').\mu(s')\,ds'=\frac{2l}{\pi^2}\nu(s), \] wo das Integral als Cauchyscher Hauptwert gemeint ist. Und die Auflösung dieser Gleichung ist sehr leicht.