Sulle equazioni integrali non lineari. (Q1462144)

Die Abhandlung ist in drei Kapitel geteilt: Im Kap.~1 wird die Integralgleichung \[ u(s)=h(s)-\lambda\int_a^b K(s,t)f[h(t)]\,dt \tag{A} \] betrachtet, wo \(h\) die gesuchte Funktion ist, \(K\) und \(u\) gegebene Funktionen, und \(f\) das Zeichen für eine \textit{distributive} Funktionaloperation bedeutet. Obwohl also die Gleichung \textit{nichtlinear} genannt wird, so wirkt doch ihre rechte Seite auf \(h\) in distributiver Weise, so daß eine der wesentlichsten Eigenschaften der linearen Gleichungen erhalten bleibt. Verf. setzt zunächst voraus, daß der Kern \(K\) bezüglich der Operation \(f\) einer gewissen Symmetriebedingung genügt, und zeigt, wie man dann die klassische Theorie von Hilbert-Schmidt auf die Gleichung (A) übertragen kann. Dann gibt er an, wie in vielen Fällen eine Gleichung (A), deren Kern der gedachten Bedingung nicht genügt, auf eine andere zurückgeführt werden kann, für welche dies der Fall ist. Am Schluß des Kap. findet sich eine Bemerkung über die Auflösung der Gleichung (A) durch sukzessive Approximationen. Das Kap.~2 ist dem Studium der folgenden ziemlich allgemeinen Gleichung mit variablen Integrationsgrenzen \[ u(s)=\psi[h(s)]-\varphi\{\psi[g(s)]\}-\lambda\int_{\mu(s)}^{g(s)} \sum_{r=1}^p K_r(s,t)f_r[h(t)]\,dt, \tag{B} \] wo \(\varphi\), \(\psi\) und die \(f_r\) wieder distributive Funktionaloperationen sind, gewidmet. Die Gleichung wird durch eine Methode sukzessiver Approximationen aufgelöst, die auf Reihenentwicklungen führt; um deren Konvergenz zu sichern, müssen beträchtliche Einschränkungen gemacht werden. Im Kap.~3 endlich werden einige bemerkenswerte Spezialfälle der Gleichung (B) betrachtet, darunter eine von Burgatti und Lalesco studierte Integralgleichung und einige Typen Volterrascher Integrodifferentialgleichungen.