Su di una classe di equazioni alle derivate funzionali. I, II. (Q1462159)

Diese beiden Noten sind dem Studium der Funktionalderivierten-Gleichung \[ \frac{\partial V}{\partial z}+H(z,[x],[p])=0 \] gewidmet, wo \(V\) eine unbekannte Funktion der \textit{Linie} \([x]\) (im Sinne Volterra's) und der numerischen Variabeln \(z\) ist, \([p]\) diejenige Linie, deren Ordinate in jedem Punkte \(\xi\) gleich der \textit{dort gebildeten Derivierten von \(V\) nach \([x]\)} ist, während \(H\) eine gegebene Funktion von \(z\) und den Linien \([x]\), \([p]\) bedeutet, \textit{quadratisch} in den letzteren. Die vorliegende Gleichung ist eine Verallgemeinerung einer von Volterra betrachteten. Verf. zeigt vor allem, daß seine Gleichung in engem Zusammenhang steht mit der Integrodifferentialgleichung \[ \frac{\partial\varPhi(\xi,z)}{\partial z}=\alpha(\xi,z)+ \int_0^1 K(\xi,\eta)\varPhi(\eta,z)\,d\eta, \tag{1} \] wo \(\varPhi\) gesucht und \(\alpha\), \(K\) gegeben ist. Es dreht sich also alles um die Auflösung dieser letzteren Gleichung. Zu diesem Zweck wird dieselbe als Grenzfall \(n\to\infty\) eines Systems von \(n\) simultanen Differentialgleichungen \[ \begin{matrix}\l\\ \dfrac{d\varphi_1}{dz}=\alpha_1(z)+k_{11}\varphi_1(z)+\cdots+k_{1n}\varphi_n(z)\\ \hdotsfor1\\ \dfrac{d\varphi_n}{dz}=\alpha_n(z)+k_{n1}\varphi_1(z)+\cdots+k_{nn}\varphi_n(z)\\ \end{matrix} \] betrachtet und von hier aus das Problem gelöst unter der Voraussetzung, daß die Eigenwerte und Eigenfunktionen des Kernes \(K\) bekannt sind.