Sur quelques questions de calcul fonctionnel. (Q1462161)

\(x(t)\) sei der Bedingung \[ \int_0^1|x(t)|^p\,dt\leqq R^p \tag{1} \] unterworfen. Das Funktional \(U\) heißt gleichmäßig stetig vom Grade \(p\), wenn für jedes \(\varepsilon>0\) sich ein \(\eta\) derart bestimmen läßt, daß im Feld (1), aus \[ \int_0^1|y(t)-x(t)|^p\,dt\leqq\eta^p \] folgt \[ \left|U|[y(t)]|-U|[x(t)]|\right|\leqq\varepsilon. \tag{2} \] \(U\) hat in einem Funktionenfeld die Eigenschaft \(G_p\), wenn \(n\) für jedes \(\varepsilon\) derart bestimmt werden kann, daß (2) stattfindet für irgend zwei Funktionen \(x(t)\), \(y(t)\) des Feldes, welche dieselben Mittelwerte 1-ter, 2-ter,\dots,\(p\)-ter Ordnung in jedem Teilintervall \(\left(\dfrac{i-1}n,\dfrac in \right)\) besitzen. Als normales Funktionalpolynom der Klasse \(p\) wird eine endliche Summe von Ausdrücken der Form \[ \int_0^1\cdots\int_0^1\varphi(t_1,\ldots,t_p)x^{\alpha_1}(t_1)\cdots x^{\alpha_p}(t_p)\,dt_1\cdots dt_p \] verstanden, in welchem die Exponenten \(\alpha_\nu\leqq p\) sind und \(\varphi\) derart ist, daß der Ausdruck gleichmäßig stetig vom Grade \(p\) im Feld (1) ist. Die notwendige und hinreichende Bedingung der Darstellbarkeit eines Funktionals im Feld (1) durch eine gleichmäßig konvergente Reihe von normalen Funktionalpolynomen der Klasse \(p\) ist, daß es gleichmäßig stetig sei in (1) und daß es die Eigenschaft \(G_p\) besitze. \(U\) hat in einem Felde die Eigenschaft \(H\), wenn \(n\) zu jedem \(\varepsilon\) derart bestimmt werden kann, daß zwei Funktionen \(x(t)\), \(y(t)\) des Feldes notwendig die Ungleichung (2) befriedigen, wenn sie dieselbe Lebesguesche summatorische Funktion in jedem Intervall \(\left(\dfrac{i-1}n,\dfrac in\right)\) haben. Die Funktionale, die die Eigenschaft \(H\) besitzen, haben einen eindeutigen Mittelwert in einer Kugel des Funktionalraumes. Der Mittelwert eines gleichmäßig stetigen Funktionals in einem Volumen \(V\) ist gleich dem Mittelwert auf der Oberfläche \(S\) von \(V\), wenn man den Flächenelementen Gewichte beilegt, die proportional sind den mittleren Krümmungsradien.