Gauß und die Variationsrechnung. (C. F. Gauß. Werke. Herausgegeben von der Gesellschaft der Wiss. zu Gött. Bd. 10, Abt. 2, 5. Abhandlung.) (Q1462199)

\textit{Aus dem Vorwort.} Die Beziehungen von Gauß zur Variationsrechnung finden sich im wesentlichen in den beiden Arbeiten: ``Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii'' und ``Disquisitiones generales circa superficies curvas''. In der ersten Arbeit hat Gauß unmittelbar an einer wichtigen Stelle in die Entwicklung der Variationsrechnung eingegriffen; in der zweiten spielt die Variationsrechnung zwar unmittelbar nur eine untergeordnete Rolle, aber um so größer ist ihre mittelbare Wirkung auf die Variationsrechnung gewesen, insofern die Gaußschen Untersuchungen über geodätische Linien aufs engste mit den fundamentalsten Fragestellungen der neueren Variationsrechnung in Zusammenhang stehen und dazu vielfach den Anstoß gegeben haben. Ferner findet sich eine wichtige Anwendung der Variationsrechnung in der Arbeit: ``Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte'', in der Gauß ein Existenztheorem der Potentialtheorie nach einer Methode beweist, deren Grundgedanke mit dem Dirichletschen Prinzip identisch ist. Mit diesen drei Arbeiten beschäftigen sich der Reihe nach die drei ersten Teile der folgenden Darstellung. Daran schließt sich dann noch ein vierter Teil, in dem verschiedene vereinzelte kürzere Anwendungen besprochen werden, die Gauß gelegentlich von der Variationsrechnung gemacht hat, und die sich in seinem Nachlaß gefunden haben. \textit{Aus der Inhaltsübersicht.} I. Teil : Die Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii. I. Abschnitt: Überblick über die Geschichte der Extrema von Doppelintegralen vor Gauß. A. Methode der Variation der Grenzen. B. Methode der Variation der unabhängigen Variabeln. II. Abschnitt: Die Gaußsche Arbeit ``Principia generalia theoriae figurae fluidorum in statu aequilibrii''. A. Aufstellung der ersten Variation. B. Umformung der ersten Variation durch partielle Integration. C. Die partielle Differentialgleichung für die Flüssigkeitsoberfläche und die Randbedingung. III. Abschnitt: Wirkungen der Gaußschen Arbeit. II. Teil: Die Disquisitiones generales circa superficies curvas. A. Die Differentialgleichung der geodätischen Linien. B. Die Sätze über geodätische Polar- und Parallelkoordinaten. C. Die geodätische Krümmung und der Satz von der Totalkrümmung. III. Teil: Die Arbeit ``Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstoßungskräfte. IV. Teil: Vereinzelte kürzere Anwendungen der Variationsrechnung. (IV 15.)