Criteri per l'esistenza della soluzione in problemi di Calcolo delle variazioni. (Q1462204)

Ein Minimum des Kurvenintegrals \[ I_C = \int\limits_C F(x,y,x',y') ds, \] \({x'}^2 + {y'}^2 = 1\), in der Weierstraßschen Normalform, existiert nach früheren Ergebnissen des Verf. (Palermo Rend. 35, 1913) a priori, sobald \[ F > 0, \quad F_1\geqq 0, \] \((F_1 = F_{{x'}^2}{y'}^{-2} = \cdots )\) im beschränkten Definitionsfelde \(A(x, y)\) stets erfüllt ist. In vielen grundlegenden Fällen ist aber nur \[ F\geqq 0, \quad F_1\geqq 0 \] gesichert und daher von Wichtigkeit, Existenzkriterien unter derart erweiterten Bedingungen aufzustellen. Es werden die folgenden Bezeichnungen eingeführt: \(I_C\) heißt positiv (bzw. negativ) regulär, wenn stets in \(A\), mit allen \({x'}^2 + {y'}^2 = 1\), \(F_1>0\) (bzw. \(< 0\)) gilt; positiv (negativ) quasiregulär bei \(F_1\geqq 0\), (\(F\leqq 0\)); positiv definit, wenn stets \(F > 0\) ist; positiv semidefinit bei \(F\geqq 0\); normal positiv-semidefinit, wenn dabei nirgends (in \(A\)) \(F = 0\) für alle \(x' = \cos\alpha\), \(y' = \sin\alpha\) ausfällt, und singulär positiv-semidefinit, wenn mindestens ein \((x, y)\) mit \(F = 0\) für alle \(\alpha\) existiert. Es gilt nun vor allem der folgende Satz: Ist \(I_C\) ein positiv definites, quasireguläres Integral, dann existiert in jeder abgeschlossenen Klasse von (rektifizierbaren) Kurven \(C\) im (beschränkten) Felde \(A\) mindeste eine Minimumkurve, u. a. also in den wichtigen Fällen: 1. \(C\) geht durch zwei gegebene Punkte, 2. die Endpunkte von \(C\) liegen auf zwei gegebenen Kurven. Der einfache Grundgedanke des Beweises (\(F\geqq m > 0\), \(I_C\geqq m\cdot L\), \(L = \) Kurvenlänge \(\leqq I_Cm^{-1}\)) läßt sich nun, mit zum Teil recht tiefliegenden (erst mengentheoretisch zu fassenden) Modifikationen, auch auf allgemeinere Fälle übertragen. Die Existenz eines Minimus ist z. B. gesichert, wenn \(I_C\) quasiregulär und normal positiv semidefinit ist, sobald \(F\) in \(A\) nur endlichviele Nullstellen hat oder wenigstens die Nullstellen von \(F\) sich auf nur endlichvielen, nirgends dicht liegenden Kurven mit stetig wechselnden Tangenten befinden u. ä. m. Es gelingt dem Verf., entsprechende Sätze unter gewissen spezielleren Voraussetzungen auch für quasireguläre semidefinite \(I_C\) aufzustellen, sowie gewisse Erweiterungen für den Fall unbeschränkter Felder zu sichern.