Variationsbreite und mittlerer Fehler. (Q1462210)

Die Variationsbreite \(v\) ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert aus einer gegebenen Anzahl \(n\) empirischer Werte einer Größe. Ordnet man die Fehler nach steigenden absoluten Beträgen \(\varepsilon_i\) und bezeichnet die mathematische Erwartung einer Größe \(a\) mit \(\overline{a}\), so ist \[ \overline{v}=\overline{\varepsilon}_n+\tfrac{1}{2} \overline{\varepsilon}_{n-1}+\dots +\frac{1}{2^{n-2}}\overline{\varepsilon}_2; \] benutzt man das Gaußsche Fehlergesetz mit der Konstante \(h\), also mittlerem Fehler \(\mu=1:h\sqrt2\), und schreibt \[ \frac{2}{\sqrt\pi }\underset{0\hfill}{\int^x} e^{-t^2}\,dt=\varPhi(x)=\varPhi_x, \] so erhält man: \[ \overline{v}=\frac{n(n-1)}{h\pi }\underset{0\hfill}{\int^\infty } e^{-2x^2}\biggl\{\biggl(\frac{1+\varPhi_x}{2}\biggr)^{n-2}+ \biggl(\frac{1-\varPhi_x}{2}\biggr)^{n-2}\biggr\}\,dx. \] Es wird noch bei großem geraden \(n\) der wahrscheinlichste Wert des größten Fehlers und daraus der wahrscheinlichste Wert \(v'\) von \(v\) berechnet, ein anderer Wert \(v''\) für \(v\) aus der mathematischen Erwartung des größten Fehlers hergeleitet und an mehreren empirischen Beispielen die gute Übereinstimmung von \(v\) mit \(\frac{1}{2}(v'+v'')\) aufgezeigt.