Polygons inscribed in one circle and circumscribed to another. (Q1462270)

Es seien gegeben die Kegelschnitte: \[ Ax^2 + By^2=C, \leqno{(K):} \] \[ A'x^2 + B'y^2=C'; \leqno{(K'):} \] als Bedingung dafür, daß die \(K\)-Tangenten in den Punkten \[ \biggl(\sqrt{\dfrac{C}{A}}\cos a_\nu,\quad \sqrt{\dfrac{C}{B}}\sin \alpha_\nu\biggr) \quad (\nu=1,2), \] sich auf \(K'\) schneiden, hat man: \[ a \cos \alpha_1 \cos \alpha_2 +b\sin \alpha_1\sin \alpha _2=c, \] \(a = \dfrac{-A'}{A}+\dfrac{B'}{B}+\dfrac{C'}{C}; b, c\) entsprechend. Die Bedingung für die Existenz eines geschlossenen Ponceletschen Sechsecks lautet nun: \[ \biggl( -\dfrac1a+\dfrac1b+\dfrac1c\biggr) \biggl(\dfrac1a-\dfrac1b+\dfrac1c\biggr)\biggl(\dfrac1a +\dfrac1b-\dfrac1c\biggr)=0, \] für ein Achteck: \[ \biggl( -\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\biggr)\biggl( \dfrac{1}{a^2}-\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\biggr)\biggl(\dfrac{1}{a^2} +\dfrac{1}{b^2}-\dfrac{1}{c^2}\biggr)=0. \] Schon Cayley hatte bemerkt, daß allgemein für ein \(2m\)-Eck die entsprechenden Bedingungen in zwei Faktoren zerfallen; es wird hier noch gezeigt, daß dabei sogar stets mindestens drei Faktoren entstehen. (V 3.)