Sur la théorie des congruences de courbes. (Q1462290)

In seiner ``Théorie des surfaces'' hat Darboux als erster sich mit Kongruenzen aus algebraischen Raumkurven beschäftigt, wobei aber die Kurven als vollständige Schnitte von Flächen vorausgesetzt waren. Verf. gelangt in Verallgemeinerung der Darbouxschen Ergebnisse auf beliebige Raumkurven zu folgenden Ergebnissen: Auf einer jeden Kurve einer Kongruenz, die aus algebraischen Kurven der Ordnung \(\gamma \) und des Geschlechts \(p\) besteht, gibt es \(4\gamma + 2(p - 1)\) Brennpunkte. Wenn eine lineare Kongruenz derartiger Kurven (ohne vielfache Punkte) eine einzige singuläre Kurve besitzt, so ist deren Ordnung kleiner als \(\Bigl(\dfrac {4\gamma + 2p - 2)}{\gamma }\Bigr)^2\); sind die Kurven rational oder elliptisch, so ist diese Ordnung höchstens 16. Auch wenn die Kongruenz zwei singuläre Kurven besitzt, kann man über deren Ordnung gewisse Aussagen machen.