Die rationale Quintik der Ebene vom 5-dimensionalen Raume aus gesehen. (Q1462292)

Die vorliegende Arbeit stellt eine weitere Ausführung der Dissertation des Verf.s (Leipzig 1910) dar (F. d. M. 42, 1032 (JFM 42.1032.*), 1911). Die ebene rationale Kurve fünfter Ordnung \(r_5\) wird systematisch als Projektion der Normkurve gleicher Ordnung \(N_5\) im \(S_5\) untersucht, nach einer schon früher vom Referenten (F. d. M. 15, 510 (JFM 15.0510.*), 1883) entwickelten Methode. Zuerst werden gewisse Inund Kovarianten einer binären Form fünfter Ordnung \(f_5\), sowie eines Büschels solcher, zusammengestellt, die für die Aufstellung kovarianter Kurven der \(r_5\) (in deren Ebene) in Betracht kommen. Hierbei kommt ein mit dem Clebschschen Übertragungsprinzip verwandter Ränderungsprozeß zur Verwendung. Ausführlich werden das der Parameterdarstellung der \(r_5\) zu grunde liegende quinäre binäre Formnetz nebst dem apolaren Formennetz, deren Elementarkombinanten und ihre Beziehung zur \(r_5\) untersucht. So erscheinen die einschlägigen Arbeiten vom Referenten, von Berzolari, Marletta, Stéphanos, W. Stahl u. a. durch eine gemeinsame Kette verbunden. Hinsichtlich der geometrischen Deutung kommt noch besonders eine Abhandlung von Conner (F. d. M. 42, 619 (JFM 42.0619.*), 1911) in Betracht, in der zwei ``konjugierte'', in verschiedenen Ebenen liegende \(r_5\) auf einander bezogen werden, sowie eine Reihe eigenartiger Korrespondenzen und Transformationen. Die von W. Stahl untersuchten Gebilde, die \(C_3\) und \(\varGamma _3\), auf die sich die \(R_5\) projektiv beziehen läßt, sowie das hieraus durch Projektion auf die Ebene entstehende Netz von \(c_3\) und \(\gamma _3\) mit gemeinsamem Doppelelement, nebst dessen Ausartungen, werden durch den Zusammenhang mit Kovarianten des \(f_5\)-Büschels ins Licht gesetzt. Von besonderem Interesse ist die Jacobiana dieses Netzes, eine \(r_6\) mit 5-fachem Punkt, resp. dual eine \(\varrho _6\) mit 5-facher Tangente. Der erste Abschnitt bringt die Geometrie einer \(f_5\) und eines \(f_5\)-Büschels, sowie von deren in Betracht kommenden In- und Kovarianten. Die Normkurve \(N_5\) als Punktort ist: (1) \(x_0 : x_1 : \ldots : x_5=1\) \(: -\lambda : \lambda ^2 : \ldots : -\lambda ^5\). Schneidet man sie mit einem \(S_4(u)\), so sind die Parameter \(\lambda _i\) der Schnittpunkte die Wurzeln der ``Schnittform'' \(\varphi \equiv u_5\lambda ^5-u_4\lambda ^4+\cdots -u_0\). Versteht man unter den \(s_k\) die elementar symmetrischen Funktionen der \(\lambda \), so wird \(u_i\) proportional mit \(s_i\). Damit folgt als Klassendarstellung von (1): (1\('\)) \(u_0 : u_1 : \ldots : u_5=\) \(\lambda ^5: 5\lambda ^4 : \ldots : 1\). Dual gehört zu jedem Punkte \((x)\) des \(S_5\) eine ``Berührform'' \(f = x_0\lambda ^5+ 5x_1\lambda ^4 + \cdots +x_5\), und man hat entsprechend \[ x_0 : x_1 : \ldots : x_5 = s_0 : -s_1/5 :\ldots : -s_5. \] Umgekehrt läßt sich jede Binärform fünfter Ordnung je nachdem als Schnittform \(\varphi =\alpha _\lambda ^5\) eines \(S_4\) oder als Berührform \(f=a_\lambda ^5\) eines Punktes auffassen. Mit der Normkurve ist ein Nullsystem verknüpft; Nullpunkt (Pol) \((x)\) und Null(-Polar)raum \((u)\) sind verbunden durch: \[ u_0 : u_1 : \ldots : u_5 = x_5 : -5x_4 :\ldots : -x_0. \] Allgemein wird die Inzidenz von Punkt und \(S_4\) ausgedrückt durch die Apolarität der beiden zugehörigen Formen. Einer (linearen) \(\infty ^k\)-Schar von \(f_5\) ist eine \(\infty ^{6-k}\)-Schar von apolaren \(\varphi _5\) zugeordnet; jene stellt einen \(S_k\) dar, durch den alle \(S_4\) gehen, die den apolaren Formen entsprechen, und entsprechend dual. Die Koeffizienten beider Formenreihen sind als Koordinaten der zugehörigen \(S\) anzusehen; die komplementären Determinanten beider Matrizes sind proportional. Für \(i = (f,f)^4\) gehört zu einer \(f\) eine apolare kubische Form \(j = (i,f)^2\); \(j = 0\) gibt die Schnittpunkte der durch den Punkt \((f)\) an die \(N_5\) gehenden Trisekantenebene. Mittels der Linearfaktoren von \(j\) ist \(f\) kanonisch darstellbar als Aggregat von drei fünften Potenzen. Jedem Tripel auf \(N_5\) ist ein Punkt \((y)\) zugeordnet, der gleichzeitig den beiden zugehörigen Ebenen -- der Verbindungsebene der Punkte und der Schnittebene der oskulierenden \(\varSigma _4\) -- angehört. Die geometrischen Eigenschaften einer Geraden oder auch eines Büschels \((f_0,f_1)\) hängen ab von drei Elementarkombinanten \(r\), \(s\), \(t\), der ersten, dritten, fünften Überschiebung von \(f_0\) mit \(f_1\), die an drei Relationen gebunden sind. Die Elementarkombinanten der apolaren Schar unterscheiden sich von \(r\), \(s\), \(t\) nur um konstante Faktoren. Hier liefert z. B. \(r = 0\) die Doppelpunkte der Involution \(f_0+\varrho f_1=0\), das sind die Berührungspunkte der acht die Gerade \((f_0,f_1)\) treffenden \(\varSigma _3\). Die elementaren Determinanten \((ik)\) des Büschels lassen sich durch die Koeffizienten von \(r\), \(s\), \(t\) linear ausdrücken. In \S \,2 werden Kovarianten und Invarianten eines \(f_5\)-Büschels \((f_0,f_1)\) entwickelt, die geometrisch in Betracht kommen. So geht durch eine Gerade \((f_0,f_1)\) ein Quadrisekantenraum an die \(N_5\), dessen Kurvenpunkte die Wurzeln einer Kovariante \(Q\) sind, u. s. f. Von besonderer Bedeutung wird eine zum Büschel \((f_0,f_1)\) apolare Form achter Ordnung \(\varTheta\), deren dritte Polaren mit den zu den \(f\) apofaren Formen fünfter Ordnung zusammenfallen. Der zweite Abschnitt behandelt die allgemeine \(r_5\). Einer Ebene \(\pi _f\) im \(S_5\) ist ein Berührformenbündel \((f)\equiv f_0+\varrho f_1+\sigma f_2\) zugeordnet, dem ein apolares Formennetz \((\varphi )\equiv \varphi _0+\varrho \varphi _1+\sigma \varphi _2\) gegenübersteht, deren \(S_4\) die Ebene \(\pi \) enthalten. Die zu einander konjugierten Ebenen \(\pi _f\) und \(\pi _\varphi \) haben einen Punkt \(f_\varphi \) gemein, dessen Nullraum \(\varphi _f\) beide Ebenen verbindet. Eine wesentliche Rolle spielen die beiden Formen sechster Ordnung \(F\), \(\varPhi \), die apolar sind zu den Formen des Netzes \(\varphi \) resp. \(f\). Der Form \(F\) ist eine in der Ebene \(\pi _f\) gelegene Gerade \(l\) zugeordnet, deren Punkte die ersten Polaren von \(F\) zu Berührformen haben ; durch irgend einen Punkt der Ebene gehen drei solche Geraden \(l\). Die Mannigfaltigkeit der \(l\) in einem \(S_3\) ist daher eine Kongruenz von der Ordnung 3 und von der Klasse 1. In \S \,4 werden die fundamentalen Kombinanten eines \(f_5\)-Netzes \((a_\lambda ^5, b_\lambda ^5, c_\lambda ^5)\) entwickelt, d. s. die Komitanten der Gordanschen Determinante \(|a_\lambda ^5, a_\mu ^5, a_\nu ^5|\); man erhält sie, indem man von der Determinante das Differenzenprodukt \(P\) der \(\lambda \), \(\mu \), \(\nu \) absondert und alsdann nach Potenzen von \(P\) entwickelt. Die Fundamentalkombinanten apolarer Netze sind im wesentlichen dieselben. Das Verschwinden der wichtigsten unter ihnen wird geometrisch an der \(N_5\) gedeutet. In \S\,5 werden Folgerungen für die \(r_5\) gezogen. Die \(r_5\) geht aus der \(N_5\) hervor durch deren Projektion von einer festen Ebene \(\pi _f\) auf eine andere Ebene \(\pi '\). Es ergibt sich sofort die bekannte Parameterdarstellung der \(r_5\). \[ x_0 : x_1 : x_2 = f_0 : f_1 : f_2 = a_\lambda ^5 : b_\lambda ^5 : c_\lambda ^5.\tag{\(\text{I}\)} \] Daneben stellt sich die ``konjugierte'' Klassenkurve \(\varrho _5\): \[ u_0 : u_1 : u_2 = f_0 : f_1 : f_2.\tag{\(\text{I}'\)} \] \( \)\( Die Untersuchung wichtiger Punktgruppen auf der \)r_5\( vollzieht sich nun auf Grund der früher aufgestellten Komitanten. So ergibt sich u. a. die Gleichung für die 6 Parameterpaare der 6 Doppelpunkte \)d_2\( der \)r_5\(, die übrigens in einfachem Zusammenhange mit der \)N_5\( stehen. Daran schließen sich in \S \,6 verschiedene, der \)r_5\( zugordnete kovariante Gebilde. So existiert ein ausgezeichnetes Büschel achter Ordnung von \)c_4\(, durch jeden Punkt der Ebene gehen 8 solcher \)c_4\(; ferner ein Büschel vierter Ordnung von Kegelschnitten, u. s. f. \par In \S \,6 werden die Oskulanten und die fundamentale Involution studiert. Schneidet man die Developpable der \)N_5\( mit einer festen \)\varSigma _4\( in einem Punkte \)\mu \(, so erhält man eine \)\infty ^1\(-Schar von \)S_3\( in \)\varSigma _4\(, die ``erste Oskulante \)S_\mu ^4\(''. Dual ist die erste Oskulante \)R_\mu ^4\( die Gesamtheit der die \)N_5\( aus einem festen Punkte \)\mu \( derselben projizierenden Geraden. Zwei Oskulanten \)R_{\lambda _1}^4\(, \)R_{\lambda _2}^4\( haben einen stationären Punkt gemein, drei solche zu je zweien drei stationäre Punkte, die auf einer Geraden liegen, u. s. f. \par In \S \,7 werden Connersche Korrespondenzen eingeführt. Eine Ebene \)\pi _k\( enthalte die \)\varrho _5 : u_0 : u_1 : u_2 = f_0 : f_1 : f_2\(, und eine Ebene \)\pi _c\( die konjugierte \)r_5 : x_0 : x_1 : x_2 = \varphi _0 : \varphi _1 : \varphi _2\(. Dadurch wird zwischen den Geraden beider Ebenen eine gewisse \)(5, 1)\(-Korrespondenz \)T\( vermittelt, die näher untersucht wird. Ein \)d_2\( der \)r_5\( (resp. sein Strahlenbüschel) geht vermöge \)T\( über in drei Strahlenbüschel in \)\pi _k\(; der Geraden \)l\( in \)\pi _k\( entspricht in \)\pi _c\( der zu \)r_5\( perspektive Klassen-Kegelschnitt \)\varkappa \(. \par Hieraus folgt u. a., daß sich der durch fünf \)d_2\( der \)r_5\( gehende Kegelschnitt und \)\varkappa \( in Schließungslage befinden, d. h. es gibt \)\infty ^1\( Dreiecke, die dem ersteren Kegelschnitt ein- und dem letzteren umbeschrieben sind. Ferner sind die Schnittpunkte beider Kegelschnitte diejenigen Punkte auf \)\varkappa \(, die zu den vier Berührungspunkten der vom sechsten \)d_2\( an die \)r_5\( gehenden Tangenten perspektiv liegen. \par Eine ähnliche Korrespondenz \)U\( achter Ordnung wird im Raume gebildet, mit deren Hilfe interessante kovariante Gebilde untersucht werden. \par Im dritten Abschnitt werden noch einige spezielle \)r_5\( betrachtet. \par Der Verf. hat von dem ``Schnittpunkttheorem'' des Referenten, d. i. dem aus den Formen \)\varphi \( leicht ableitbaren Kriterium für fünf Punkte der \)r_5\( keinen Gebrauch gemacht; mit dessen Hilfe hätten sich wohl manche Ergebnisse einfacher und übersichtlicher herleiten lassen.\)