Über paraboloidische Flächen. 3. Mitteilung. (Q1462301)

[Vgl. F. d. M. 45, 869 (JFM 45.0869.*), 1914-15.] 1. Bereits aus Untersuchungen von Darboux (Leçons III, 374) folgt, daß die Zentraflächen \(Z_M\) von Minimalflächen \(M\) paraboloidisch sind. Diese und einige weitere Eigenschaften der \(Z_M\) werden an der Hand der speziellen Enneperschen Fläche [mit \(F(w) =\) konst. \(> 0\) in der Weierstraßschen Theorie] dargetan. Für die Krümmung der beiden \(Z_M\) gilt stets \(K_1=K_2=-\dfrac {1}{4}\,K_M\); den Asymptotenlinien der Zentraflächen entsprechen die Minimallinien der Ausgangsfläche; die Affinnormalen der \(Z_M\) stehen jeweilig auf der entsprechenden Affinnormale von \(M\) senkrecht. 2. Für Regelflächen hat Guillemain (Nouv. Ann. (4), 13, 262, 1913) bewiesen, daß nur die geraden Konoide die Eigenschaft aufweisen, daß ihre oskulierenden \(F_2\) hyperbolisch und gleichschenklig sind. In Verallgemeinerung dieser Fragestellung kann man nach denjenigen Flächen fragen, deren Liesche Paraboloide ebenso beschaffen sind; es stellt sich heraus, daß man dabei nicht etwa auf neue Flächen stößt, die geraden Konoide vielmehr auch die einzigen Flächen mit hyperbolischen gleichschenkligen Lieschen Paraboloiden darstellen.