1. Über eine asymptotische Formel aus der Theorie der binären quadratischen Formen. 2. Sur la distribution des résidus et des nonrésidus des puissances. 3. Über die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste. (Q1462402)

1. Unter Anwendung der Kreisteilungstheorie leitet der Verf. ab: \[ \left|\sum_{x=M}^{x=N}\left(\frac{a+bx}D\right)\right|<\sqrt D\lg D. \] Das Zeichen \(\left(\dfrac{a+bx}D\right)\) bedeutet hier das Jacobische Symbol, und die Zahl \(b\) ist zu \(D\) teilerfremd. Mit Hilfe dieser Ungleichung bekommt der Verf. die asymptotischen Ausdrücke für die Summe \(\sum\limits_{n\leqq x}\theta(a+bn)\), wo \(\theta(D)=h(D)\) für \(D<0\) und \(\theta(D)=\dfrac1\pi h(D)\lg(T+u\sqrt D)\) für \(D>0\); \(h(D)\) ist die Gaußsche Klassenzahl. 2. Von der analogen Ungleichung ausgehend, wird der folgende Satz bewiesen: Wenn \(n=ef+1\) eine Primzahl ist, \(k\) die Anzahl der verschiedenen Primteiler von \(e\), \(b\) eine durch \(n\) nicht teilbare Zahl, \(a\) eine beliebige ganze Zahl ist, so haben wir in der arithmetischen Progression: \[ a, a+b, a+2b, \ldots, a+\nu b \] \(\dfrac\nu e+\theta\sqrt n\lg n\) Zahlen von einem gegebenen Potenzcharakter. Dabei ist \(|\theta|<1\). In derselben Progression ist die Anzahl \(p\) der Zahlen, die zum Exponenten \(e\)~(mod~\(n\)) gehören, durch den Ausdruck: \[ p=\frac\nu{n-1}\varphi(e)+\theta.2^k\sqrt n\lg n \] gegeben. 3. Die oben erwähnte Ungleichung und die Fouriersche Entwicklung: \[ \{z\}-\frac12=-\frac1\pi\sum_1^\infty\frac{\sin2\pi nz}n \] unter Benutzung der Primzahltheorie geben eine Reihe von Sätzen über die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste, zum Beispiel: Für eine genügend große Primzahl \(p\) ist der kleinste positive Nichtrest kleiner als \(p^{\frac1{2\sqrt e}}(\lg p)^2\). Die Anzahl der Primzahlen unter den quadratischen Nichtresten des Intervalls \(\left(0,p^{\frac12-\frac1{\lg\lg p}}\right)\) ist nicht kleiner als \(\dfrac{\lg p}{7\lg\lg p}\).