Sur deux questions de l'intégrabilité des fonctions. (Q1462434)

Verf. beginnt damit, das Beispiel einer beschränkten Funktion zweier unabhängigen Variablen zu geben, für die das Doppelintegral \(\iint F\,dA\), erstreckt über eine Fläche \(A\), nicht existiert, während das entsprechende zweifache Integral \(\int dx\int F\,dy\) einen Sinn hat, was auch die Orientierung der Koordinatenachsen in der Ebene sein mag (alle Integrale sind im Riemannschen Sinne verstanden); nun stellt sich der Verf. die umgekehrte viel schwierigere Frage, nämlich: eine Funktion \(F\) derart zu konstruieren, daß das Doppelintegral einen wohl bestimmten Sinn hat, aber das zweifache Integral trotzdem nicht existiert, was auch die Orientierung der Achsen sein mag. Die Lösung dieses Problems hängt von der Konstruktion einer ebenen Menge mit recht bemerkenswerten Eigenschaften ab: die Fläche dieser Menge (im Sinne von Jordan) ist Null, und sie enthält Strecken aller möglichen Richtungen von einer Länge \(\geqq 1\). Diese Konstruktion stützt sich ihrerseits auf folgenden geometrischen Hilfssatz, der auch an sich interessant ist: Man kann ein gegebenes Dreieck durch Transversalen, die von einer Ecke ausgehen, in Elementar-Dreiecke zerlegen und sie dann parallel zur Basis verschieben und zur Deckung bringen, so daß die von diesen Dreiecken in ihrer neuen Lage bedeckte Fläche so klein wird wie man will.