Sur la représentation des polynomes positifs. (Q1462440)

Wird das Polynom \(P(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n\) auf die Form \[ A_0(1-x)^m+A_1x(1-x)^{m-1}+\cdots+A_mx^m \tag{*} \] gebracht, wo \(m\geqq n\) ist, so gilt \(\lim\limits_{m=\infty}\dfrac{A_k}{C^k}=P \left(\dfrac km\right)\). Daraus: Notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(P(x)\) keine Wurzel im Intervall \((0,1)\) besitze, ist, daß \(P(x)\) für genügend große \(m\) in der Form (*) darstellbar sei, mit Koeffizienten desselben Zeichens.