New cases of motion of a rigid body around a fixed point (Q1462592)

In bezug auf die Eulerschen Gleichungen wird folgende Aufgabe gelöst: vorausgesetzt, daß der Flächensatz statthat und daß die entsprechende Konstante Null ist, ist 1. ein Integral, das eine ganze rationale, von der Zeit unabhängige Funktion dritter Ordnung der Winkelgeschwindigkeitskomponenten ist, und 2. die Bedingung, der die Kräfte dabei genügen müssen, zu finden. Das ganze Problem soll mit vier willkürlichen Konstanten gelöst werden. Es wird das Integral in der Form \(F_0 + F_1 + F_2 + F_3 = \text{Const.}\) gesucht. Hier ist \(F_i\) ein von \(t\) unabhängiges ganzes rationales und homogenes Polynom \(j\)-ten Grades in bezug auf \(p\), \(q\), \(r\). Das Polynom \(F_3\) enthält außerdem die Eulersche Winkeln \(\theta\), \(\psi\) \(\varphi\), nicht. Es zeigt sich, daß für \(A \neq B\) \(F_3\) gleich Null ist. Für \(A=B\) findet der Verf. \(F_3 = a(p^2 + q^2)r + br^3\). Die ergänzende Bedingung, daß das gesuchte Integral eine algebraische Funktion trigonometrischer Funktionen der Winkel \(\theta\) und \(\varphi\) sei, gibt eine neue Bedingung \((A - 4C) (3 A - 4C) = 0\), woraus zwei Fälle entstehen: 1. \(A = 4C\) und 2. \(3A = 4C\). Im ersten Falle ist \[ U=C\left(b_1\sin\varphi\sin\theta +\frac{2b_2}{\cos^2\theta}\right) \] und \[ (p^2 + q^2)r + b_1p \cos \theta - \frac{b_2r}{\cos^2\theta} = \text{Const.} ; \] wenn \(b_2 = 0\), ist das Integral das von Čaplygin entdeckte (Moskva, Izv. Obšč. lĭub. jest., Trd. otd. fiz. nauk, \(10_2\), 1909). Im zweiten Fall ist \[ U=C\left( \frac{b_1}3 \sin\varphi\mathop{\text{tg}}\theta +\frac{b_2}{\cos \theta}\right)\root3\of{\cos\theta} \] und \[ 2(p^2+q^2)r + r^3+ \left[b_1 (2p - r \sin \varphi \mathop{\text{tg}}\theta) - \frac{3b_2r}{\cos \theta}\right] \root3\of{\cos\theta} =\text{Const.} \]