New cases of integrability for dynamical Euler equations (Q1462593)

Es wird eine zur vorigen analoge Aufgabe gelöst, in der aber ein Integral vom vierten Grade gesucht wird. Die Anzahl der willkürlichen Konstanten des ganzen Problems bleibt nach wie vor gleich vier. Vorausgesetzt ist \(A = B\), und es wird das Integral in der Form \((2 pq + F_1)^2 + (p^2 - q^2 + F_2)^2 = \text{Const.}\) gesucht. Hier sind \(F_1\) und \(F_2\) zwei zu bestimmende Funktionen der Winkel \(\theta\), \(\psi\), \(\varphi\). Die ergänzende Bedingung, daß das gesuchte Integral eine algebraische Funktion der trigonometrischen Funktionen der Winkel \(\theta\) und \(\varphi\) ist, veranlaßt, zwei Unterfälle zu unterscheiden. Im ersten ist \[ U=\frac{a\varepsilon C}{\cos^2\theta} \quad \left(\varepsilon=\frac AC\right) \] und \[ 4(pq + a\mathop{\text{tg}}\nolimits^2 \theta \sin 2\varphi)^2 + (p^2 - q^2 - 2 a\mathop{\text{tg}}\nolimits^2 \theta \cos 2\varphi)^2 = \text{Const.} \] Im zweiten ist für \(\varepsilon = 2\) \[ U = 2C\left[ \frac a{\gamma^{\prime\prime2}} +2b_1\gamma\gamma' +b_2(\gamma'{}^2 +\gamma^2) + c_1\gamma +c_2\gamma')\right] \] und \[ \begin{multlined} 4 \left(pq + \frac{2a\gamma\gamma'}{\gamma^{\prime\prime2}} b_1\gamma^{\prime\prime2} +c_1\gamma' +c_2\gamma\right)^2\\ +\left[p^2-q^2 +\frac{2a(\gamma^2-\gamma^{\prime2})}{\gamma^{\prime\prime2 }} +2b_2\gamma^{\prime\prime2} +2c_1\gamma -2c_2\gamma'\right]^2 =\text{Const.} \end{multlined} \] \(a= b_1= b_2 = 0\) vorausgesetzt, geht das letzte Integral in das Integral von S. Kovalevskaja über. Der Fall, wo \(a =c_1 = c_2 = b_1 = 0\), ist gesondert untersucht, und es wird ein kinematisches Bild der Bewegung gegeben.