Sur l'origine de l'algèbre. (Q1462781)

Während man früher die elementare Algebra und Arithmetik mit der Kenntnis einer Zeichensprache identifizierte, ist man nach der Mitte des vorigen Jahrhunderts darüber klar geworden, daß\ schon die Griechen wohl entwickelte algebraische Methoden von bedeutender Tragweite besaßen. Zeuthens Schrift enthält 4 Teile: I.; II. L'arithmétique et l'algèbre avant Platon; III. Analyse algébrique sous forme géométrique; IV. Approches de la géométrie analytique; théorie des sections coniques. Vor Plato war der algebraische Apparat erstens die Darstellung des Produkts durch die Fläche eines Rechtecks; in dieser Darstellung (\textit{Euklid} II), die auf die Pythagoräer zurückgeht, finden sich die einfachsten Formeln z. B. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\), aber auch die Lösung der Gleichung zweiten Grades durch Angabe der Figuren, die den Umschreibungen \[ ax -x^2 =\left( \frac a2\right)^2-\left( \frac a2-x\right)^2, \;ax+x^2=\left( \frac a2+x\right)^2-\left( \frac a2\right)^2 \] entsprechen. Nach Zeuthen (im Gegensatz zu \textit{P. Tannery}) hat man diese Lösung auf Zahlenbeispiele angewendet. Die Darstellung von Zahlen durch Punktreihen auf einer Figur ist ja bekannt. Zweitens hatte man die Proportionenlehre des \textit{Eudoxos} (Euklid V), durch welche man die Begriffe Potenz und Wurzel definieren konnte, indem die zusammenhängende Proportion \[ a:b=b:c=c:d= \cdots =e: f \] das Verhältnis \(\frac{a}{f}\) als \(n\)-te Potenz von \(\frac{a}{b}\) bestimmt. Als Beispiel einer algebraischen Analyse -- selbstverständlich in der geometrischen Zeichensprache dargestellt -- wird Euklid XIII, 1-5 genannt, wo von dem goldenen Schnitt die Rede ist; es wird uns hier gezeigt, wie ein Problem behandelt wird, das durch eine Gleichung zweiten Grades lösbar ist; das klare Verständnis der 2 Lösungen wird allerdings nicht erreicht bei Euklid, der das Problem so stellt, daß\ es sich darum handelt, ein Rechteck mit gegebener Fläche und Seitensumme zu bestimmen. Dagegen erreicht diese Auffassung \textit{Apollonius}, bei dem es sich um die Bestimmung eines Schnitts, d. h, eines Punktes einer Geraden handelt, sodaß\ man doch deutlich erkennt, daß\ das Interesse sich an die Bestimmung einer Unbekannten knüpft. Die Kegelschnittslehre des Apollonius ist schon in dem bekannten Buch von Zeuthen: Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum (Kopenhagen, A. F. Höst, 1886) behandelt; jetzt sieht er diese Lehre von einem algebraischen Gesichtspunkt aus an und zeigt, daß\ sie durch Mittel entstanden ist, ähnlich denen, welche wir in unserer analytischen Geometrie benutzen; er faßt die griechische Geometrie als das Organ einer wohlentwickelten Algebra auf. Wie jetzt ein geometrischer Ort durch seine Gleichung bestimmt wird, werde von den Griechen diese durch ein Symptom, d. h. eine geometrische Eigenschaft, sozusagen den geometrischen Ausdruck des Inhalts der Gleichung, bestimmt. Die Bestimmung einer Wurzel einer Gleichung wurde auf die Bestimmung zweier Symptome von Kurven reduziert, was zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten entspricht. In dieser Weise bestimmte \textit{Hippokrates} von Chios die Verdoppelung des Würfels durch die Proportion \(a : x = x : y = y : b\), wo jede der Gleichungen \(x^2 = ay, y^2 = bx, xy = ab\) das Symptom einer Kurve ist. Wie Euklid die Gleichung zweiten Grades, so löste \textit{Archimedes} gewisse Gleichungen dritten Grades z B. \( \frac {x^2}{b^2} = \frac {c}{a-x},\) indem jede der Gleichungen \(b^2y = ex^2, y(a - x) = ce\) das Symptom eines Kegelschnitts ist, deren Schnittpunkte alsdann die gesuchten Lösungen geben. Hierdurch sind wir dann der analytischen Geometrie von \textit{Descartes} und \textit{Fermat} sehr nahe getreten; letzterer baute direkt auf dieser ``analytischen Geometrie'' des Altertums. Aber erst \textit{Diophant} vermochte durch eine Zeichensprache direkt Gleichungen mit einer Unbekannten aufzustellen und lösen.