Einige Sätze über Reihen von allgemeinen Orthogonalfunktionen. (Q1462922)

In Verschärfung eines bekannten Satzes von Weyl wird gezeigt: Bilden die \(\varphi_\nu(x)\) ein normiertes Orthogonalsystem des Intervalles \((0,1)\) und ist \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu^2\) konvergent, bestimmt man ferner eine monoton wachsende Folge positiver Zahlen \(\lambda(\nu)\) so, daß auch noch \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty \lambda(\nu)c_\nu^2\) konvergiert (was auf unendlich viele Arten möglich ist) und versteht man unter \(\varLambda_\varrho\) das kleinste \(\lambda(\nu)\), für das \(\lambda(\nu) \geqq \varrho\), so stellt \(\lim\limits_{\nu\to \infty}\sum\limits_{\nu=1}^{\varLambda_n} c_\nu\varphi_\nu(x)\) überall in \((0,1)\), abgesehen von einer Nullmenge, eine endliche Funktion dar. Daraus kann in bekannter Weise der Riesz-Fischersche Satz gewonnen werden. -- Ist \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty (c_\nu\log \nu)^2\) konvergent, so konvergiert \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu\varphi_\nu(x)\) überall, abgesehen von einer Nullmenge (bisher war dies -- nach Plancherel -- nur bekannt, wenn \(\sum c_\nu^2(\log\nu)^3\) konvergiert). Ist \(\sum c_\nu^2\) konvergent, so ist überall, abgesehen von einer Nullmenge: \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty c_\nu\varphi_\nu(x)=o(\log n)\). Ferner gelten (abgesehen von einer Nullmenge) die Abschätzungen: \(\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)=O(n^{\frac 12}(\log n)^{\frac 32 +\varepsilon})\), \(\sum\limits_{\nu=1}^n a_\nu\varphi_\nu(x)=O(\log n) (\sum\limits_{\mu=1}^n a_\mu^2)^{\frac 12 +\varepsilon})\). Alle diese Abschätzungen gelten ``wesentlich gleichmäßig''. Alle diese Resultate gelten auch, wenn die \(\varphi_\nu(x)\) nicht ein normiertes Orthogonalsystem des Intervalles \((a,b)\) bilden, wenn nur der Ausdruck \( \int\limits_a^b \bigl(\sum\limits_{\nu=1}^\infty z_\nu \varphi_\nu(x)\bigr){}^2\,dx\) eine beschränkte quadratische Form der \(z_\nu\) ist (denn dann können die \(\varphi_\nu(x)\) so auf ein größeres Intervall ausgedehnt werden, daß sie in diesem größeren Intervall ein normiertes Orthogonalsystem bilden).-- Seien die \(\varphi_\nu(x)\) wieder ein normiertes Orthogonalsystem in \((0,1)\). Die Ausdrücke \(\varrho_\nu(x)= \int\limits_0^1\bigl|\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)\varphi_\nu(y)\bigr|\,dy\) werden als die zugehörigen ``Lebesgueschen Funktionen'' bezeichnet (im Falle des trigonometrischen Orthogonalsystems reduzieren sie sich auf Konstante und sind dort als ``Lebesguesche Konstante'' bekannt). Abgesehen von einer Nullmenge gilt die Abschätzung \(\varrho_\nu(x)= O\bigl((\log n)^{\frac 32+\varepsilon}n^{\frac 12}\bigr)\), die sich, falls die \(\varrho_\nu(x)\) Konstante sind, zu \(\varrho_\nu = O(n^{\frac 12})\) verschärft. -- Es wird folgendes normierte Orthogonalsystem von \((0,1)\) näher studiert: \(\psi(x)=2e_\nu(x)-1\), wo \(e_\nu(x)\) die \(\nu\)-te Stelle der Dezimalbruchentwicklung von \(x\). Hier kann die Abschätzung \(\sum\limits_{\nu=1}^n \psi_\nu(x) =O(n^{\frac 12})\) nur in einer Nullmenge gelten; es kann also in der oben gegebenen Abschätzungsformel für \(\sum\limits_{\nu=1}^n \varphi_\nu(x)\) die rechte Seite nicht zu \(O(n^{\frac 12})\) verschärft werden. Die Lebesgueschen Funktionen werden hier Konstante \(\varrho_n\), die asymptotisch gleich \(\sqrt{\dfrac{2n}\pi}\) sind, so daß die oben gegebene Abschätzung \(\varrho_n = O(n^{\frac 12})\) nicht verschärft werden kann. Ist \(\sum c_\nu^2\) konvergent, so konvergiert \(\sum c_\nu \psi_\nu(x)\) überall, abgesehen von einer Nullmenge.