Über das Maximum einer quadratischen Form von unendlichvielen Veränderlichen. (Q1462934)

Das Maximum der quadratischen Form \[ \left(\sum \frac{x_n}n\right)^2+\sum \frac{x_n^2}{n^2}\quad (n=1,2,3,\ldots) \] bei reellen \(x_n\) mit \(\sum x_n^2\leqq 1\) ist \[ M = \left(\frac {\pi}\xi\right)^2= 2,\,39795 \ldots, \] wo \(\xi\) die kleinste, positive Wurzel der Gleichung \(\operatorname{tg} x+x=0\) bedeutet. Daraus ergibt sich als Anwendung: Bei einer für \(|z|\leqq 1\) regulären analytischen Funktion \(f(z)\), die auf dem Rande des Einheitskreises eine Nullstelle besitzt, folgt aus \[ \frac 1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}|f'(e^{i\vartheta})|^2\,d\vartheta =1\quad \text{die Beziehung}\quad \frac 1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi} |f(e^{i\vartheta})|^2\,d\vartheta\leqq M, \] wobei die rechte Seite das Optimum darstellt.