Grundlegende Sätze der natürlichen Geometrie ebener Transformationsgruppen. (Q1462940)

Wie Pick zuerst erkannt hat, gehören zu jeder \(r\)-gliedrigen Gruppe von Punkttransformationen der Ebene, die die Elemente \((r- 2)\)-ter Ordnung transitiv transformiert, gewisse kovariante Koordinaten, von denen die Cesàroschen natürlichen Koordinaten der Gruppe der Bewegungen ein besonderer Fall sind. Der Verf. definiert diese ``Relativkoordinaten'', wie er sie nennt, in neuer Weise, so daß eine gewisse Unbestimmtheit, die bei Pick noch vorhanden war, verschwindet. Die Pickschen Identitätsbedingungen (bei Cesàro sind es die Unbeweglichkeitsbedingungen) erscheinen jetzt als eine besondere Anwendung der von Cartan gegebenen symbolischen Formel für den ersten Lieschen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. Sie können, wenn man das invariante Bogenelement und die niedrigste Differentialinvariante der Gruppe zweckmäßig normiert, in eine sehr einfache Formel zusammengefaßt werden. Der Verf. behandelt als Beispiel dafür die Gruppe: \(p\), \(xp\), \(q\), \(yq\), \(y^2q\). Er zeigt ferner, daß für \(r>2\) die niedrigste Differentialinvariante von \(G\) in \(y^{(r-l)}\) linear angenommen und infolgedessen durch Quadraturen gefunden werden kann. Sodann behandelt er noch den Fall \(r=2\), der in gewisser Weise eine Ausnahmestellung einnimmt. Als natürliche Gleichung einer Kurve i. B. auf die Gruppe \(G\) -- vorausgesetzt, daß für die Kurve das bei \(G\) invariante Bogenelement \(ds\) nicht verschwindet -- bezeichnet er die Gleichung \(I =\varphi(s)\), wo \(I\) die niedrigste Differentialinvariante von \(G\) und \(s =\int ds\) längs der Kurve erstreckt ist. Er zeigt, daß von zwei Kurven, die dieselbe natürliche Gleichung haben, die eine durch eine Transformation von \(G\) in die andere überführbar ist.