Grundlegende Eigenschaften der Differentialinvarianten ebener Transformationsgruppen und eine neue Methode zu ihrer Bestimmung. (Q1462941)

In einer früheren Arbeit (Grundlegende Sätze, s. das vorige Referat) hat der Verf. direkt gezeigt, daß die Bestimmung der Differentialinvarianten einer \(r\)-gliedrigen Gruppe \(G\) von Punkttransformationen der Ebene, die die Elemente \((r-2)\)-ter Ordnung transitiv transformiert, höchstens Quadraturen erfordert, wenn man die infinitesimalen Transformationen der Gruppe kennt. Das ist ein Fortschritt gegenüber Lie, der, um zu diesem Ergebnisse zu gelangen, die Überführung von \(G\) in die kanonische Form brauchte, die auch nur Quadraturen erfordert. In dieser Arbeit dehnt der Verf. diesen Satz auf die transitiven \(r\)-gliedrigen Gruppen \(G\) aus, die die Elemente \((r-2)\)-ter Ordnung intransitiv transformieren. Aus Lies Untersuchungen ist bekannt, daß es für jedes \(r>2\) einen und nur einen Typus derartiger Gruppen gibt. Während das aber bei Lie ein Nebenresultat seiner Bestimmung aller endlichen kontinuierlichen Gruppen der Ebene ist, bestimmt der Verf. durch eine originelle Methode direkt und findet so den Lieschen Satz wieder, daß \(G\) durch Punkttransformation ähnlich ist mit der größten Gruppe, die den Ausdruck \(y^{(r-2)}\) invariant läßt. Er zeigt ferner allgemein, daß die niedrigste Differentialinvariante \(I\) einer Gruppe \(G\), wenn ihre Ordnung \(>1\) ist, immer linear in der höchsten Ableitung angenommen und daher durch Quadraturen bestimmt werden kann. Dasselbe gilt auch bei einer intransitiven Gruppe, wenn man nach der niedrigsten Differentialinvariante fragt, die nicht von allen Ableitungen frei ist. Endlich betrachtet der Verf. noch eine \(r\)-gliedrige Gruppe \(G\), deren niedrigste Differentialinvariante \(I_{r-1}\) von \((r-1)\)-ter Ordnung ist, und entwickelt eine merkwürdige Beziehung zwischen \(I_{r-1}\), dem bei \(G\) invarianten Bogenelemente und dem invarianten Flächenelemente.