Die Verwertung gemischter invarianter Flächenelemente zur Berechnung der Differentialinvarianten einer ebenen Transformationsgruppe. (Q1462945)

Es sei \(G_r\) eine \(r\)-gliedrige Gruppe von Punkttransformationen der Ebene, \(e_{\alpha-2}\) und \(\mathfrak e_{\beta-2}\) seien zwei Elemente von \((\alpha - 2)\)-ter und \((\beta - 2)\)-ter Ordnung und \(\alpha+\beta= 2\), überdies sollen die beiden Elemente \(G_r\) gegenüber keine Invariante haben. Dann gibt es bei \(G_r\) ein invariantes Bogenelement \(d\sigma=\omega(e_{\alpha-2}, \mathfrak e_{\beta-2})\;dx\), wo \(dx\) sich auf das zu \(\mathfrak e_{\alpha-2}\) gehörige \(x\) bezieht, ferner eine Invariante \(I(e_{\alpha-1}, \mathfrak e_{\beta-2})\), die in bezug auf \(y^{(r-2)}\) linear ist. Beide können durch Quadraturen gefunden werden. Weiter ist \(I_1= dI:d\sigma\), wo in \(dI\) nur \(e_{\alpha-2}\) variiert wird, eine in \(y^{(\alpha-2)}\) lineare Invariante, \(dI_1 :d\sigma\) eine in \(y^{(\alpha)}\) lineare, usw. Hat man genügend viele solche ``gemischte'' Invarianten gebildet, so kann man aus ihnen, wenigstens wenn \(G_r\) die Elemente \((r-2)\)-ter Ordnung transitiv transformiert, die niedrigste Differentialinvariante von \(G_r\), die von \((r-1)\)-ter Ordnung ist, zusammensetzen. Ebenso kann man aus dem ``gemischten'' Bogenelement ein gewöhnliches invariantes Bogenelement herleiten und aus einem gemischten invarianten Flächenelement ein gewöhnliches. Man kann auch drei und noch mehr Elemente einführen und kann es dann gewöhnlich so einrichten, daß man nur Punkte und Elemente erster Ordnung zu betrachten braucht. So kann man schon aus einem gemischten invarianten Bogenelement und einem gemischten Flächenelement die Differentialinvarianten der Gruppe herstellen, ja unter gewissen Voraussetzungen aus dem Flächenelement das Bogenelement und umgekehrt.