Laplacesche Integrale als Lösungen nicht linearer Differentialgleichungen. (Q1462960)

Die Arbeit ist eine Fortsetzung von der in J. für Math. 144 erschienenen gleichbetitelten Arbeit des Verf. (vgl. F. d. M. 45, 486 (JFM 45.0486.*)). Die Differentialgleichung \[ x^{h+1}\frac{dy}{dx}=\sum A_{\lambda\mu}x^{\lambda}y^{\mu}\qquad (A_{00}=A_{01}=0) \] wird formal durch eine im allgemeinen divergente Potenzreihe \[ S=\sum_{\nu=1}^\infty C_{\nu}x^{\nu} \] befriedigt. Diese Reihe stellt in jedem der \(k\) Sektoren \[ \frac{2m\pi-\frac12\pi}k<\arg x<\frac{2m\pi+\frac12\pi}k \qquad (m=0,1,\ldots,k-1) \] ein einziges Integral der Differentialgleichung asymptotisch dar, in jedem der \(k\) Sektoren \[ \frac{2m\pi+\frac12}k<\arg x<\frac{2m\pi+\frac32\pi}k \tag{\(\mathfrak S_m\)} \] aber unendlich viele. In dem Sektor \(\mathfrak S_m\) kann man das allgemeine Integral in eine für hinreichend kleine \(|x|\) konvergente Reihe \[ y = \sum_{n=0}^\infty\xi^n\varphi_{n,m}(x) \] entwickeln, wobei \[ \xi=Ce^{\frac1{kx^k}-\frac{a_1}{(k-1)x^{k-1}}-\cdots-\frac{a_{k-1}}x}x^{a_k} \] und \(C\) eine willkürliche Konstante ist. Dabei lassen sich die Funktionen \(\varphi_{n,m}(x)\) im Sektor \(\mathfrak S_m\) durch Laplacesche Integrale in der Form \[ \varphi_{n,m}(x)=\sum_{p=0}^{k-1}C_{pn}x^p+\int\limits_0^\infty \sum_{p=0}^{k-1}x^pw_{pn}(t)e^{-\frac t{x^k}}dt \] darstellen. Die \(\varphi_{n,m}(x)\) sind im Sektor \(\mathfrak S_m\) auch asymptotisch gleich gewissen Potenzreihen \[ \varphi_{n,m}(x)\sim\sum_{\nu=0}^{\infty}C_{\nu n}x^{\nu}, \] deren Koeffizienten \(C_{\nu n}\) so beschaffen sind, daß die Reihe \[ \sum_{\nu,n=0}^\infty C_{\nu n}x^{\nu}\xi^n \] die gegebene Differentialgleichung formal befriedigt; \(\xi\) hat hier die oben angegebene Bedeutung.