Sugli inviluppi di tangenti alle curve integrali di un' equazione differenziale del primo ordine. (Q1462973)

Die Aufgabe, welche in dieser Abhandlung gelöst wird, besteht in der Bestimmung des Charakters der Einhüllenden der Geraden, welche die Integralkurven einer Differentialgleichung erster Ordnung in den Punkten berühren, in welchen dieselben durch eine algebraische Kurve \(\varphi (x, y) = 0\) geschnitten werden. Um diesen Zweck zu erreichen, betrachtet zuerst der Verf. die lineare Kongruenz, welche erzeugt wird, wenn zwischen den Punkten \(M\) einer Geraden \(d\) und den Ebenen \(\mu\) durch dieselbe eine Projektivität hergestellt wird, und man die \(\infty^1\) Büschel \((M, \mu)\) betrachtet. Die Geraden dieser Kongruenz, welche eine gegebene Kurve der Ordnung \(n\) schneiden, erfüllen eine Regelfläche vom Grade \(2n\), welche vom Verf. gründlich untersucht wird. Um den Nutzen solcher Resultate einzusehen, muß man bedenken, daß die Differentialgleichung \(f (x, y, y^\prime)= 0\) folgendem System äquivalent ist \[ f(x,y,z) = 0, \quad dy - zdx = 0. \] Betrachtet man \(f (x, y, z) = 0\) als die Gleichung einer Fläche \(\sigma\) in orthogonalen Koordinaten, so sind die Integralkurven der gegebenen Differentialgleichung die Orthogonalprojektionen \(s_1\) auf die \(xy\)-Ebene derjenigen Flächenkurven \(s\), welche der Gleichung \(dy - zdx = 0\) genügen; nun ist die Tangente \(t\) an \(s\) im Punkte \(P(x_0, y_0, z_0)\) der Durchschnitt der Tangentialebene \(\tau\) von \(\sigma\) in \(P\) mit der Ebene \(\nu\) mit der Gleichung \(Y - y_0 = z_0(X - x_0)\); und die Tangente \(t_1\) in \(P_1\) zu \(s_1\) ist die Spur \(t_\nu^\prime\) der Ebene \(\nu\) auf der \(xy\)-Ebene; es wird ferner nützlich sein, \(t_1\) als die Orthogonalprojektion der Parallele \(o\) durch \(P\) zu \(t_1\) zu betrachten. Wenn man zuletzt bemerkt, daß die Gerade \(o\) dargestellt wird durch die Gleichungen \(y - y_0 = z_0(X- x_0), Z = z_0\), so erkennt man, daß sie zur linearen Kongruenz gehört, welche aus den Büscheln besteht, deren Ebenen durch die unendlich ferne Gerade der \(xy\)-Ebene gehen und deren Mittelpunkte auf derselben liegen, Punkte und Ebenen sich projektiv entsprechend. Daraus folgt die Anwendbarkeit der Resultate des I. Teils der Arbeit auf die obige Aufgabe. Zuletzt leitet der Verf. aus seinen Formeln einige früher bekannte spezielle Sätze ab und verweilt bei dem Falle, daß die gegebene Differentialgleichung eine Clairautsche ist. (V 6 C.)