On a certain differential equation in mathematical physics. (Q1463021)

Verf. versucht die Differentialgleichung \(y^{\prime\prime} + \left(\alpha^2 + \dfrac{k}{1 - x^2}\right) y = 0\) für \(-1 \leqq x \leqq +1\) und für die Randbedingungen ``\(y(\pm 1) = 0\), \(y^\prime(\pm 1) =\) finite'' durch Potenzreihen \(y = x^m \left(\sum\limits_{\nu=0}^\infty A_{2\nu} x^{2\nu}\right)\) zu integrieren; die Randbedingungen sollen die Forderung enthalten, daß die Potenzreihen für \(y\) und \(y^\prime\) noch für \(x = \pm 1\) konvergieren, wie sich aus dem Verlauf der Untersuchung ergibt. Unter der Voraussetzung, daß \(\underset{r\to\infty} {\lim}\dfrac{A_{2r-2}}{A_{2r}}\) existiert (und endlich ist), ergibt sich keine Lösung. Falls hingegen \(\left|\dfrac{A_{2r-2}}{A_{2r}}\right| \to +\infty\) mit \(r \to +\infty\), existiert eine Lösung. Ob bzw. wann dieser Fall eintritt, wird nicht entschieden. Auch Entwicklungen nach \(x^{-1}\) und Laurententwicklungen werden gelegentlich in Betracht gezogen.