Zur Stieltjesschen Kettenbruchtheorie. (Q1463034)

Verf. betrachtet den Kettenbruch \[ K(\lambda )= \frac {\;\;\;1\;\;\;|}{|a_1-\lambda } - \frac {\;\;\;b_1^2\;\;\;|}{|a_2-\lambda } - \frac {\;\;\;b_2^2\;\;\;|}{|a_3-\lambda } - \cdots \] mit beliebigen reellen \(a_\nu \) und \(b_\nu \) (\(b_\nu \neq 0 \)) und komplexem \(\lambda \) und fragt nach Konvergenzbedingungen für diesen Kettenbruch. Indem er einen ähnlichen Standpunkt wie in seiner gemeinsam mit \(O\). Toeplitz im J. für Math. 144, 212 (F. d. M. 45, 516 (JFM 45.0516.*), 1914-15) veröffentlichten Abhandlung einnimmt, bringt er die Theorie des Kettenbruches \(K(\lambda )\) mit unendlichen Systemen linearer Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten in Zusammenhang. Bezeichnet \(-\dfrac {k_n(\lambda )}{\pi_{n+1}(\lambda )}\) den \(n\)-ten Näherungsbruch von \(K(\lambda )\), so bestimmt Verf., indem er \(\pi _1=1\) setzt, die übrigen \(\pi _n\) und \(k_n\) aus den Gleichungssystemen \[ \begin{matrix}\l\\ \left\{ \begin{matrix}\r&\l\\ &(a_1-\lambda )\pi _1 -b_1\pi _2 =0 \\ -&b_{p-1}\pi _{p-1}+ (a_p-\lambda )\pi _p -b_p\pi _{p+1} =0 \qquad\quad (p=2,3,\ldots ),\\ \end{matrix}\right.\\ \\ \left\{ \begin{matrix}\l\\ -b_1k_1=1,\;\;(a_2-\lambda )k_1 -b_2k_2 =0 \\ -b_pk_{p-1}+ (a_{p+1}-\lambda )k_p -b_{p+1}k_{p+1} =0 \quad\quad (p=2,3,\ldots ).\\ \end{matrix}\right. \end{matrix} \] Es gelingt nun aber auch -- und das ist der Fortschritt gegenüber der oben zitierten Arbeit von Hellinger und Toeplitz -- den ``verallgemeinerten'' \(n\)-ten Näherungsbruch \[ \begin{multlined} u^{(n)}(\lambda ;h) =-\frac {k_n(\lambda )- hk_{n-1}(\lambda )} {\pi _{n+1}(\lambda )- h\pi _n(\lambda )}\\ = \frac {\;\;\;1\;\;\;|}{|a_1-\lambda } - \frac {\;\;\;b_1^2\;\;\;|}{|a_2-\lambda } -\cdots - \frac {\;\;\;\;\;b_{n-1}^2\;\;\;\;\;\;|}{|a_n-\lambda -hb_n}, \end{multlined} \] unter \(h\) einen reellen Parameter verstanden, durch ein endliches lineares Gleichungssystem zu charakterisieren. Betrachtet man das System von \(n +1\) inhomogenen Gleichungen \[ \left \{ \begin{matrix}\l&\l&\l&\l\\ &(a_1-\lambda )\varrho _1^{(n)} -b_1&\varrho _2^{(n)} &=1\\ -b_{p-1}\varrho _{p-1}^{(n)}+&(a_p-\lambda )\varrho _p^{(n)} -b_p&\varrho _{p+1}^{(n)} &=0\quad\qquad (p=2,3,\ldots .n)\\ &&\varrho _{n+1}^{(n)}&=h\varrho _n^{(n)}, \end{matrix}\right. \] so ergibt sich \[ u^{(n)} (\lambda ;h)=\varrho _1^{(n)}. \] Mit Hamburger (Math. Ann. 81, 235, 82, 120, 168; F. d. M. 47, 427 (JFM 47.0427.*), 1919-20, ferner das vorige Referat) nennt Verf. den Kettenbruch \(K(\lambda )\) ``vollständig konvergent'', wenn der Grenzwert \(\lim _{n\to \infty }u^{(n)}(\lambda ;h)=u(\lambda )\) gleichmäßig für \(-\infty \leqq h\leqq +\infty \) existiert und von \(h\) nicht abhängt. Indem Verf. nunmehr die Hilbertsche Theorie der beschränkten quadratischen Formen mit unendlich vielen Veränderlichen heranzieht, beweist er sein Hauptresultat: I. Ist die Reihe \(\sum _{n=1}^\infty \pi _n^2(\lambda )\) für einen einzigen nicht reellen Wert von \(\lambda \) divergent, so divergiert die Reihe für alle nicht reellen Werte von \(\lambda \); ferner ist für diese der Kettenbruch \(K(\lambda )\) ``vollständig konvergent'' und der Grenzwert eine in der oberen und unteren Halbebene reguläre analytische Funktion, höchstens mit Ausnahme der reellen Achse. II. Konvergiert die Reihe \(\sum _{n=1}^\infty \pi _n^2(\lambda )\) für einen einzigen nicht reellen Wert von \(\lambda \), so konvergiert die Reihe für alle reellen und komplexen Werte von \(\lambda \), und \(K(\lambda )\) ist nirgends ``vollständig konvergent''. Dieser Satz ist ein Gegenstück zu dem Hamburgerschen Kriterium (F. d. M. 47, 427, 1919-20), nach dem \(K(\lambda )\) für nicht reelle Werte von \(\lambda \) dann und nur dann ``vollständig konvergent'' ist, wenn mindestens eine der beiden Reihen \(\sum _{n=1}^\infty \pi _n^2(0)\), \(\sum _{n=1}^\infty k_n^2(0)\) divergiert. Aus seinem Hauptsatz zieht Verf. nun eine interessante Folgerung: Haben die Teilzähler \(b_n^2\) von \(K(\lambda )\) einen endlichen limes inferior, so verhält sich \(K(\lambda )\) wie im Falle I. Zum Schluß erhält Verf. vermittels einer von ihm schon öfter (vgl. F. d. M. 40, 393) erfolgreich angewandten Methode komplexer Integration im Falle I für den Grenzwert von \(K(\lambda )\) die bekannte Stieltjessche Integraldarstellung \[ \displaylines {\hfill K(\lambda )= \frac {1}{\pi }\int _{-\infty }^\infty \frac {d\sigma (u)}{u-\lambda }. \hfill (IV 4.) } \]