De l'intégration des équations \(s=f(x,y,z,p,q)\) par la méthode de Darboux. (Q1463058)

Der Verf. stützt sich auf Untersuchungen, die Goursat (F. d. M. 30, 325 (JFM 30.0325.*), 1899) und Gau (F. d. M. 42, 389 (JFM 42.0389.*), 1911) über Gleichungen von der Form \(s = f(x, y, z, p, q)\) angestellt haben, insbesondere verwertet er die von Gau angegebene Einteilung dieser Gleichungen in zwei Klassen in bezug auf die Charakteristiken \(x = \text{konst}\). Der ersten Klasse gehören alle die Gleichungen an, bei denen die Gleichung \[ A_y + qA_z + fA_p + Af_p =0 \] durch eine Funktion \(A\) von \(x\), \(y\), \(z\), \(p\) befriedigt werden kann, der zweiten alle übrigen. In Kap. I, S. 113-134, bestimmt der Verf. alle die Gleichungen \(s + f = 0\), die für die Schar der Charakteristiken \(x = \text{konst.}\) eine Invariante 2. Ordnung im Sinne von Darboux besitzen. Es stellt sich heraus, daß, wenn \(f\) nicht linear in \(q\) ist, stets auch zu der zweiten Schar \(y = \text{konst.}\) eine Invariante 2. Ordnung gehört, daß man also da nur die schon von Goursat aufgestellten Gleichungen findet. Ist \(f\) linear in \(q\), so kann man die Gleichung auf die andere \(s = \dfrac\partial{\partial x} f (x, y, z)\) zurückführen, die ein Zwischenintegral besitzt. Demnach braucht man nur die Gleichungen zu studieren, die eine Invariante \[ u(x, y, z, p_1, \ldots, p_n)\qquad \left(p_i=\frac{\partial^iz}{\partial x^i}\right) \] von der Ordnung \(n > 1\) besitzen. In Kap. II, S. 135-149 wird dieses Problem besprochen, das nach Gau mit der Frage nach den Gleichungen \[ p_{n-h} +\psi(x, y, z, p_1,\ldots, p_{n-h-1}) = 0 \] zusammenhängt, die mit \(s = f\) in Involution liegen. Insbesondere wird gezeigt, daß die von Gau angegebenen notwendigen Bedingungen für das Vorhandensein einer involutorischen Gleichung: \[ p_n + \psi(x,y, z, p_1,\ldots, p_{n-1}) = 0\quad (n > 2) \] durch einfachere, allerdings ebenfalls nur notwendige Bedingungen ersetzt werden können. In Kap. III, S. 150-164 wird bewiesen, daß unter gewissen Voraussetzungen zu \(s = f\) niemals zwei involutorische Gleichungen gehören können, die beide von höherer als 2. Ordnung sind, und die nicht demselben Systeme von Charakteristiken entsprechen. In Kap. IV, S. 165-168, wendet der Verf. die von ihm aufgestellten notwendigen Bedingungen auf Gleichungen: \(s=f\) an, die weder in bezug auf \(p\) noch in bezug auf \(q\) linear sind und die in bezug auf jede der beiden Scharen von Charakteristiken der ersten Klasse angehören. Auch hier ergeben sich außer den schon von Goursat aufgestellten Gleichungen nur zwei: eine auf die von Lie betrachtete Form \(s = f (z) \) zurückführbare und eine mit einem Zwischenintegral. In Kap. V, S. 169-180 wird gezeigt, daß es keine Gleichung \(s = f\) gibt, die weder in \(p\) noch in \(q\) linear ist, die in bezug auf die Charakteristiken \(x=\text{konst.}\) der ersten Klasse angehört, und zu der es in bezug auf jede Schar von Charakteristiken eine involutorische Gleichung von höherer als 2. Ordnung gibt.