Ein Beitrag zur Theorie der mehrfachen Integrale. (Q1463059)

Statt des \(p\)-fachen Integrals im \(R_n\) betrachten wir lieber die unter dem Integralzeichen stehende \(p\)-fach lineare alternierende Differentialform \[ A= \sum A_{\alpha_1\cdots \alpha_p}\,dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_p}, \tag{1} \] wo jede Vertauschung von \(\alpha_i\) und \(\alpha_k\) sowohl bei \(A\), als bei dem Produkte der \(dx\) einen Zeichenwechsel hervorruft. Durch Einführung neuer Veränderlicher erhalte (1) die Form: \[ \sum B_{\alpha_1\cdots \alpha_p}\,dy_{\alpha_1}\ldots dy_{\alpha_p}. \tag{\(1'\)} \] Differentiiert man die Gleichungen zwischen den \(B\) und den \(A\) nach den \(x\) und eliminiert die zweiten Ableitungen der \(y\), so erkennt man die Existenz einer kovarianten \((p + 1)\)-linearen alternierenden Form \[ \sum \mathfrak A_{\alpha_1\cdots \alpha_{p+1}}\, dx_{\alpha_1}\ldots dx_{\alpha_{p+1}} \tag{2} \] derselben, die auch bei dem auf \(p\)-fache Integrale verallgemeinerten Stokessehen Satze auftritt. Soll nun umgekehrt eine Form (1) in die Form (\(1'\)) durch eine Punkttransformation überführbar sein, so muß gleichzeitig (2) in die zu (\(1'\)) kovariante Form (\(2'\)) übergehen. Der Verf. glaubt beweisen zu können, daß dies für die Äquivalenz der beiden Formenpaare (1), (2) und (\(1'\)), (\(2'\)) durch lineare Transformation der Reihen von Differentialen nicht bloß notwendig, sondern auch hinreichend sei. Ist \(Xf\) eine infinitesimale Transformation, so ist \(XA\) eine Form von derselben Art wie \(A\). Verschwindet die zu \(XA\) kovariante Form identisch, so kann \(A\) nach einem Satze von Poincaré so zerlegt werden, \(A = A_1 + A_2\), daß \(XA_1 \equiv 0\), während die zu \(A_2\) kovariante Form identisch null ist. Der Verf. gibt einen neuen Beweis für diesen Satz. Er untersucht ferner, wann (1) durch Einführung von neuen Veränderlichen \(y\) eine Form (\(1'\)) erhalten kann, in der eine der Veränderlichen \(y\) ganz fehlt. Die Frage ist gleichbedeutend mit der nach der Existenz einer infinitesimalen Transformation \(Xf\), für die \(XA \equiv 0\), während gleichzeitig \(A\) identisch verschwindet, sobald man eine der \(p\) Reihen von Differentialen \(dx\) durch die Zuwachse der \(x\) bei \(Xf\) ersetzt. Endlich beschäftigt sich der Verf. noch mit der Reduktion von (1) auf Normalformen, besonders im Falle \(n = 4\), \(p = 2\). Obwohl (1) sechs willkürliche Funktionen enthält, und er nur vier zur Verfügung hat, stellt er drei Normalformen auf und behauptet, daß sobald die Kovariante (2) nicht verschwindet, immer eine von diesen dreien möglich sei. Das ist um so merkwürdiger, als er selbst auf S. 165 für allgemeine \(n\), \(p\) die vorhandenen und die verfügbaren Funktionen abzählt. Daß seine Normalformen nicht erschöpfend sein können, erkennt man schon daraus, daß, wenn der auftretende lineare Komplex ausgeartet ist, zu der betrachteten Form ein System von zwei Pfaffschen Gleichungen in vier Veränderlichen gehört, und daß die wichtigste Normalform \[ dx_2 - x_3\,dx_1 = 0,\quad dx_3 - x_4\,dx_1 = 0 \] eines solchen Systems weder zu seinem Falle b) noch zu c) gehört. Der Fehler liegt offenbar darin, daß sich der Verf. auf den vorhin erwähnten Satz über die Äquivalenz der Formen (1) und (\(1'\)) durch Punkttransformation stützt. Dieser Satz kann nicht richtig sein. Er ist es schon deshalb nicht, weil die Transformation, die (1) in (\(1'\)) überführt, wenn sie existiert, im allgemeinen ohne Integration gefunden wird, denn ein allgemeiner Ausdruck (1) kann keine infinitesimale Transformation gestatten. Es können also nicht wie S. 157, Z. 1, 2 gesagt wird, gewisse Differentialquotienten willkürlich bleiben. (IV 3 B.)